Vektorlar algebrasi

Майдондаги заряднинг харакат тенгламаси. Lagranj funksiyasi ma’lum bo’lgandan keyin elektromagnit maydonga kiritilgan zaryadning harakat tenglamasini olishga kirishamiz. Buning uchun birinchi navbatda Lagranj tenglamasini yozamiz: , (5) bu yerda Lagranj funksiyasi (4) ifoda bilan aniqlanadi. Lagranj tenglamasidagi hosilalarni hisoblaymiz: = – e grad . (6) Birinchi hadni grad(ab) = (bgrad)a+(agrad)b+ formula yordamida hisoblab, (6) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz: = (v )A + - e grad (7) Lagranj tenglamasining chap tomoni umumlashgan impul’sdan olingan vaqt bo’yicha to’liq hosila ekanligini hisobga olsak, (5) quyidagi ko’rinishni qabul qiladi:

(v )A + (8) Bu yerda A koordinata va vaqtning funksiyasi bo’lganligi uchun undan vaqt bo’yicha olingan to’liq hosila ikki qismdan iborat bo’ladi, (ya’ni + (v grad)a formulaga ko’ra) + (v grad)A = + (v )A . (9) Bu ifodani (8) ga qo’yish natijasida quyidagini hosil qilamiz:

. (10) Bu aniqlanishi lozim bo’lgan tenglama bo’lib, elektromagnit maydonda zaryadning harakat tenglamasini beradi. Tenglamaning chap tomonida impul’sdan vaqt bo’yicha hosila turibdi, demak, o’ng tomonidagi ifoda maydon tomonidan zaryadga ta’sir etuvchi kuchni beradi. (10) tenglamadan ko’rinib turibdiki, maydonga kiritilgan zaryadga ta’sir etuvchi kuch tabiati jihatidan ikki xil ekan, birinchisi F_E = (11) Faqat qutb vektorlaridan tashkil topgan. Ikkinchisi esa F_H = (12) Bir tomondan zaryadning tezligiga bog’liq va unga perpendikulyar bo’sa, ikkinchi tomondan bu kuch ifodasiga psevdo (aksial) vektor kiradi. Bunday ajralishda chuqur ma’no bo’lib, maydon ikki xil tabiatga ega ekanligini ko’rsatadi. Haqiqatan ham, (11) ni elektr maydon tomonidan zaryadga ta’sir etuvchi kuch, deb qarash mumkin. U holda E = (13) Birlik zaryadga ta’sir etuvchi kuch bo’lib, elektr maydon kuchlanganligi deb ataladi. Bu fikrni davom ettirsak, (12) magnit maydon tomonidan zaryadga ta’sir etadigan kuch bo’ladi. H = (14) esa magnit maydon kuchlanganligi deyiladi. Endi elektromagnit maydonda zaryadning harakat tenglamasini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: = eE + . (15) Bu tenglamaning o’ng tomonidagi ifoda Lorentz kuchi deyiladi. Zaryadga elektr maydoni tomonidan ta’sir etuvchi kuch maydon kuchlanganligi yo’nalishi bo’ylab yo’nalgan. Magnit maydoni tomonidan ta’sir etuvchi kuch esa magnit maydon kuchlanganligi va zaryadning tezligiga perpendikulyar yo’nalgan.

Майдондаги заряднинг харакат тенгламаси. Zaryadning harakat tenglamasi (15) da ishtirok etayotgan maydon kuchlanganliklari zaryadga ta’sir etayotgan kuchlar orqali aniqlanadi. Elektromagnit maydon potensiallari (13) va (14) harakat tenglamalarda bevosita ishtirok etmaganligi uchun ularni tajribalardan tiklab bo’lmaydi. Demak, ular tajribalarda o’lchanmaydigan yordamchi kattaliklar ekan. Shu sababli maydon kuchlanganliklarining (13) va (14) ko’rinishdagi ta’rifida potensiallar uchun ixtiyo-riylik mavjud bo’lishi kerak. Ixtiyoriylik darajasi qanday ekanligini ko’rib chiqamiz. Silliq ixtiyoriy funksiya yordamida vector potensialni quyidagicha almashtiramiz: A^´ = A + grad (16) Bu almashtirishni magnit maydon ta’rifi bo’lgan (14) tenglamaga tatbiq qilamiz: H = rot A = rot A^´ - rot grad (17) Bu yerda rot grad ekanligi hisobga olindi. (17) ga ko’ra (16) almashtirishga nisbatan magnit maydon kuchlanganligi invariant ekan. Endi (16) almashtirishni (13) ga tatbiq qilamiz: E = - – grad = - + – grad - – grad ( ). Agar skalyar potensial (18) ko’rinishda almashtirilsa, elektr maydon kuchlanganligi ham o’zgarmasligi ko’rinadi: E = - – grad = - – grad = E´. (19)Shunday qilib, vector va skalyar potensiallarning ixtiyoriylik ko’lami mos funksiyaning gradiyenti va vaqt bo’yicha olingan hosilasi orqali belgilanar ekan. O’zgarmas elektr maydon uchun unksiya o’zgarmasga teng bo’ladi. O’zgarmas magnit maydon uchun esa vector potensialga koordinataga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas vektorni qo’shish mumkin. Umumiy holda (16) va (18) almashtirish formulalari bilan bog’langan (A, va ( ) potensiallar bilan aniqlangan maydon kuchlanganliklari bir-biriga aynan tengdir.Almashtirishlar (16) va (18) ga nisbatan elektr va magnit maydon kuchlanganliklarining o’zgarmasligi kalibrovka yoki gradiyent invariantligi deyiladi. Yordamchi funksiya deb ataladi. Bu funksiyani tanlash orqali turli kalibrovkalarga erishiladi.