Vektorlar algebrasi

Электромагнит майдон инвариантлари Bu masalani boshqa tomondan ko’rib chiqamiz. Elektr va magnit maydon kuchlanganliklari antisimmetrik 4-tenzor bilan aniqlanganligi uchun ulardan bir ISS dan ikkinchisiga o’tganda Lorentz almashtirishlariga nisbatan invariant bo’lgan kattaliklarni hosil qilish mumkin. Bu invariantlar quyidagicha aniqlanadi: I₁ = F_ik = inv, I₂ = e^iklm F_ik F_lm = inv. (20) Bu yerda e^iklm barcha indekslari bo’yicha to’la antisimmetrik birlik tenzor. Bevosita hisoblashlarga ko’ra I₁ = 2(H² – E²) = inv, I₂ = - 8(EH) = inv. (21) Bu yerda I₁ haqiqiy skalyar, I₂ psevdo skalyardir, chunki uch o’lchovli fazodagi inversiya operatsiyasiga nisbatan I₁ invariant qoladi, I₂ ning ishorasi o’zgaradi. Yuqoridagi (20) yoki (21) invariantlar elektromagnit maydon invariantlari deyiladi. Bu invariantlar maydonning mutloq xarakteristikalari bo’lib, quyidagi xulosalarga olib keladi:

1. 
   “Elektromagnit maydon nolga teng”( I₁ = I₂ = 0) yoki elektr va magnit maydon kattalik jihatidan bir-biriga teng va o’zaro perpendikulyar degan tasdiqlar invariantlar maydonning mutloq xarakteristikasi ekanligiga misol bo’la oladi. Haqiqatan ham bu holda barcha ISS larda bu tasdiq o’rinli bo’ladi.
   
2. 
   Agar birorta ISS da elektr va magnit maydon o’zaro perpendikulyar, ya’ni
   

(EH) = 0 (I₂ = 0) bo’lsa, ular barcha ISS larda perpendikulyar bo’ladi. Bu holat hatto (14)-(15) ga ko’ra v c da ham o’rinli bo’ladi.

3. Agar birorta sanoq sistemasida elektr va magnit maydon bir-biriga teng bo’lsa, ya’ni H = E (I₁ = 0) bo’lsa, ular barcha ISS larda bir-biriga teng bo’ladi.

4. Agar birorta sanoq sistemasida I₂ = 0 va I₁ > 0 (ǀHǀ > ǀEǀ) bo’lsa, barcha sistemalarda bu tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu holda shunday sanoq sistemasini ko’r-satish mumkinki, unga nisbatan maydon toza magnit bo’ladi. Shunga o’xshash I₂ = 0 va I₁ < 0 (ǀHǀ < ǀEǀ) bo’lsa, shunday sanoq sistemasini ko’rsatish mumkinki, unga nisbatan maydon toza elektr bo’ladi.

5. Invariantlarning berilgan qiymatlarini qanoatlantiruvchi elektr va magnit maydonning ixtiyoriy boshqa qiymatiga Lorentz almashtirishlari orqali erishish mumkin. Xususan shunday sanoq sistemasini topish mumkinki, unga nisbatan elektr va magnit maydonlar shu nuqtada bir-biriga parallel bo’ladi. Bu sistemada EH=EH.

Quyidagi tenglamalardan H² - E² = EH = E₀H₀ aniqlanishi lozim bo’lgan maydonni toppish mumkin. Bu yerda E₀ va H₀ boshlang’ich sistemada maydon kuchlanganliklari.