В. А. Никитин с. В. Бойко

Косвенные измерения

Значение измеряемой величины А находят по результатам измерений аргументтов. А₁,……, а_i,……, а_m……, связанных с искомой величиной уравнением (9.15) /5/

 f
_a₁,.......,a_i , ,a_{m },


(9.15)

Вид функции  определяется при установлении модели объекта измерения ОИ.

1. 
   Косвенные измерения при линейной зависимости
   

Искомая величина А связана с m измеряемыми аргументами уравнением

(9.16) /5/

 ^mb a ,


(9.16)

i

i 1 ⁱ

где b_i - постоянные коэффициенты.

Предполагается, что корреляция между погрешностями измерений a_i
отсутствует.

Результат измерения А вычисляют по формуле (9.17) /5/

i
  ^mb a ,


(9.17)


i 1 ⁱ

/5/
где а_i - результат измерения а_i с введенными поправками.
Оценку СКО результата измерения S (A) вычисляют по формуле (9.18)

S_A_ ,


(9.18)

где S²(ā_i) - оценка СКО результата измерений ā_i .

Доверительные границы  (Р) случайной погрешности А при нормальном распределении погрешностей аi вычисляют по формуле (9.19) /5/
 __  t_,n_{эф } S__^{, (9.19)}
где t(P,n_эф) - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р (обычно 0,95 , в исключительных случаях 0,99) и эффективному числу наблюдений; – n_эф, вычисляемому по формуле (9.20)


^m 2 2
^{2 m} b⁴S⁴a 

_ i
^{ } b S
_{n } i1
a_i ^_
2 ^
i1


i i
n_i 1 _,


(9.20)

'эф


^m b⁴S⁴a 


i1
i i
n_i 1

где n_i - число наблюдений при измерении а_i.

Доверительные границы (Р) НСП результата такого измерения, сумму
 (Р) и (Р) для получения окончательного значения (Р) рекомендуется вычислять с использованием критериев и формул (2,3,9 - 11), в которых m1,i,и S(x) заменяются, соответственно, на m, bi,i, и S(A).

2. 
   Косвенные измерения при нелинейной зависимости
   

При некоррелированных погрешностях измерений а_i используется метод линеаризации путем разложения функции (a₁ ,......, a_m) в ряд Тейлора по формуле (9.21) /5/

f _a ,....,a _  f _a ,. ,a
_{ } m
f _a

• 
  R ,
  

(9.21)

1 m 1
_m 
i 1
a_i ⁱ

где  аi = аi - аi - отклонение отдельного результата наблюдения а_i от
а_i;
R - остаточный член.
Метод линеаризации допустим, если приращение функции  можно




1 ^m ² f ^
_{_ }2

заменить ее полным дифференциалом. Остаточным членом R  
₂ _i  _,

пренебрегают, если
R  0,8


 S ²   
₂ i1 _ii ^{ }

а_i .

где S (a_i) - оценка СКО случайных погрешностей результата измерения

При этом отклонения а_i должны быть взяты из возможных значений

погрешностей и такими, чтобы они максимизировали R.
Результат измерения А вычисляют по формуле (9.22) /5/

А = f (a₁ ,.....,a_i), (9.22)

Оценку СКО случайной составляющей погрешности результата такого косвенного измерения S (A) вычисляют по формуле (9.23) /5/

S__ 
_, (9.23)

а (Р) - по формуле (9.19).
Значение n _эф, границы НСП (Р) и погрешность  (Р) результата косвенного измерения при нелинейной зависимости вычисляют так же, как и при линейной зависимости, но с заменой коэффициентов b на ∂ f / ∂ a_i .
Метод приведения (для косвенных измерений с нелинейной зависимостью) применяется при неизвестных распределениях погрешностей измерений а_i и при корреляции между погрешностями а_i для получения результата косвенного измерения и определения его погрешности. При этом предполагается наличие ряда n результатов наблюдений а_ij измеряемых аргументов а_i. Сочетания а_ij , полученных в j - м эксперименте подставляют в формулу (9.14) и вычисляют ряд значений А_i измеряемой величины А. Результат измерения А вычисляют по формуле (9.24) /5/

n
^{ }  ^{ j ,}
i 1 n


(9.24)

Оценку СКО S (A) - случайной составляющей погрешности А вычисляют по формуле (9.25) /5/

S __ 
_, (9.25)

(Р) вычисляют по формуле (9.14).
Границы НСП (Р) и погрешность (Р) результата измерения А определяют описанными выше способами для нелинейной зависимости.

4. 
   Формы представления и интерпретация результатов измерений
   

Результат измерения должен содержать не только полученное значение измеряемой величины, но и, обязательно, характеристики его погрешности с указанием числа наблюдений и доверительной вероятности. Вместо характеристик погрешности измерений можно дать ссылку на стандартизованную МВИ, по которой выполнялись измерения.

Допускается представление результата измерений доверительным интервалом, покрывающим истинное значение измеряемой величины с определенной доверительной вероятностью. В этом случае характеристики погрешности отдельно не указываются. Совместно с результатами измерений могут приводиться дополнительные данные и условия измерений, которые необходимы для практического их использования, например, моменты времени, к которым относятся результаты измерений, сведения о принятой модели ОИ . Недопустима интерпретация результатов и погрешностей измерений за рамками (фреймом) принятой модели объекта измерений. Наименьшие разряды значений результатов измерений должны быть такими же, как наименьшие разряды значений СКО абсолютной погрешности измерений или значений границ, в которых находится абсолютная погрешность измерений или ее статистические характеристики. Характеристики погрешности выражаются числом, содержащим не более двух значащих цифр, так как погрешность определения погрешности, в лучшем случае, превышает 10 %. Наиболее распространены следующие формы представления результатов измерений. При симметричной погрешности результат измерения представляют в форме А ; 
 ; Р или А   ; Р . При несимметричной погрешности измерений – в форме
А; (Р) от н до в ; Р, где н и в - значения нижней и верхней границы погрешности измерения.

5.