ҶУМҲурии ӯзбекистон вазорати маорифи ол. Ва давлатии махсус

9. Масъалаи арзиши сарҳадӣ хатӣ мебошад, ки ба ду масъалаи Коши оварда мерасонад
Рақамро бо усули аксҳо ҳал кунед ва онро дар бастаи математикаи matlab гузоред
ҳамту кун ки шавад

Саҳифаи 39

39 бошад
Ҳалли масъалаи хаттии хатҳои додашударо пайдо кунед
аз сохтори хаттии муодила ва ду мушкилоти махсуси Коши
ба шумо имкон медиҳад, ки истифода баред. Фарз мекунем , ки ( t ) зерин Коши мебошад
Ягона роҳи ҳалли мушкилот:
u " ( t ) = p ( t ) u" ( t ) + q ( t ) u ( t ) + r ( t ), u ( a ) = a , u ' ( a ) = 0;
(*)
Бигзор v ( t ) ҳалли ягонаи ҳалли Кауши зерин бошад:
v " ( t ) = p ( t ) v ' ( t ) + q ( t ) v ( t ), v ( a ) = 0, v' ( a ) = 1;
(**)
Дар ин маврид
y ( t ) = u ( t ) + Cv ( t )
Омезиши хатӣ чунин аст
y " ( t ) = p ( t ) y ' ( t ) + q ( t ) y ( t ) + r ( t )
роҳи ҳалли муодила хоҳад шуд, тавре ки аз ҳисобҳои зерин дидан мумкин аст
ту метавонӣ:
y "= u" + Cv " = p ( t ) u ' ( t ) + q ( t ) u ( t ) + r ( t ) + p ( t ) Cv' ( t ) + q ( t ) Cv ( t) ) =
= p ( t ) ( u ' ( t ) + Cv' ( t )) + q ( t ) ( u ( t ) + Cv ( t )) + r ( t ) = p ( t ) y ' ( t ) + q ( t ) y ( t ) + r ( t ).
Фарз мекунем, ки ҳалли y ( t ) = u ( t ) + Cv ( t ) шартҳои зерини марзро қонеъ мекунад
щаноатманд кардан
y ( a ) = u ( a ) + Cv ( a ) = a + 0 = a , y ( b ) = u ( b ) + Cv ( b ).
Агар мо фарз кунем, ки y ( b ) = b инҷост , пас C = ( b - u ( b )) / v ( b ). Ин дуруст аст
Ҳамин тариқ, агар мо гӯем, ки v ( b ) ≠ 0, он гоҳ мушкилоти марзии додашуда беназир аст
Ҳалли масъала чунин аст:
y ( t ) = u ( t ) + v ( t ) ( b - u ( b )) / v ( b ).
1-масалан. Масъалаи марзии зерро ҳал кунед:
] .4; 0 [
, 95.0) 4 (, 25.1) 0 (, 1) (
1
2 бошад
) (
1
2 бошад
) ("
2 бошад
2 бошад
∈








т
й
й
шумо
т
шумо
т
т
шумо
Ҳалли. Мувофиқи гуфтаҳои боло, p ( t ) = 2 t / (1+ t 2 ), q ( t ) = - 2 / (1+ t 2 ),
r ( t ) = 1 аст.
Ҳалли таҳлилии ин мушкилоти сарҳадӣ чунин аст:
y ( t ) = 1.25 + 0.4860896526 t - 2.25 t 2 + 2 t arctan ( t ) - 0.5 (1+ t 2 ) ln (1+ t 2 ).
Ин масъалаи фаромарзӣ аст.
тирпарронӣ ва Рунге-Кутта
Барномаи Matlab бо усулҳо
ҳалли ададӣ бо истифода аз он ба даст оварда шудааст
[10] ва
ҳалли баланд барои h = 0.1
мањлул ба даст оварда шуд (расми 13).
Акнун биёед ба хулосаҳои умумӣ биёем:
Тасвири 13.

Саҳифаи 40

40 бошад
агар дар ҳар сарҳад ду ё зиёда шарт гузошта шуда бошад,
дар ин ҳолат татбиқ намудани ин усул ба муодилаҳои баландсуръат хеле душвор аст;
дар ин ҳолат якчанд параметрҳо якбора
"тирҳо" лозим аст, ки алгоритми муассир аст
рушдро мушкилтар мекунад; чунин масъалаҳои сарҳадӣ
ҳалли усул бо истифодаи усули ниҳоии тарҳрезии ниҳоӣ соддатар аст.
Масъалаи сарҳадии мазкур хуб шарҳ дода шудааст, вале мувофиқи мақсад аст
Масъалаи сохторшудаи Коши дар ҳолати бад қарор дорад
имконпазир (масалан, муодилаи Schrödinger); дар он сурат Коши
хато дар ҳалли масъала якбора меафзояд ва ҳисоб
бо изҳори рақамҳои бадастомада дар хотираи компютер
метавонад набошад, аммо ҳангоми усули ҷудокунии ниҳоӣ истифода мешавад
Чунин ҳолат барои як масъалаи марзӣ ба вуҷуд намеояд.
Ба гуфтаи онҳо, ҳоло усули гардиши дифференсиалӣ усули тирандозӣ мебошад
фишор овардан аз амалия.