ҶУМҲурии ӯзбекистон вазорати маорифи ол. Ва давлатии махсус

Мисоли 3 Тартиби сеюм ғайримарказ бо баробарии зерин дода шудааст
усули тир (тир) барои ҳалли як масъалаи сарҳадӣ
Алгоритм эҷод кунед:
х
х
д
х
х
euuuu







) 15
2 (гуноҳ)
2син
'' '' ' 2
,
] 1.0 [
∈
х
.
Шарти сарҳади хати чапи х = 0 тавассути ин дода мешавад:
4) 0 ('2) 0 (

u
ӯ
,
0) 0 ('') 0 ('2)

у
ӯ
;
Шарти сарҳадӣ дар сарҳади рости x = 1 ин тавр дода мешавад:
262.2 нест
) 1 (
) 1 ('


у
ӯ
.
Ҳалли. Дар зер барои ҳалли ин мушкилоти марзӣ нав аст
Мо тағирёбандаро дохил мекунем:
) () (
1
xuxu

,) () (
2 бошад
xuxu ′

,
) (
) (
3
xuxu
′′

,
) (
) (
4 бошад
xuxu
′′′

.
Натиҷа ба ҷои мушкили ҳудуд додашуда саввум аст
бо ёрии системаи муодилаҳои дифференсиалии ғайримуқаррарӣ
Мо ба масъалаи сарҳад даромадем:
2 бошад
1 ' uu
;
3
2 ' u
u ;
х
х
д
х
х
uu
ИА
ӯ
) 15
2 (гуноҳ)
2син
'
3
2 бошад
2 бошад
1
3







.
Биёед ин системаро дар шакли вектор нависем:
), ('
uxFu

,
Ин ҷо

Саҳифаи 22

22
│
│
│
⎠
⎞
│
│
│
⎝
⎛

3
2 бошад
1
ӯ
ӯ
ӯ
ӯ
,
│
│
│
⎠
⎞
│
│
│
⎝
⎛







х
х
д
х
х
uu
ИА
ӯ
ӯ
xF
) 15
2 (гуноҳ)
2син
) (
3
2 бошад
2 бошад
1
3
2 бошад
.
Шартҳои сарҳадӣ барои тағирёбандаҳои нав чунинанд
чунин навишта шудааст:
4) 0 (2) 0 (
2 бошад
1

u
ӯ
;
0) 0 (
) 0 (2)
3
2 бошад

у
ӯ
;
(38)
262.2) 1 (
) 1 (
1
2 бошад


у
ӯ
.
(39)
Ин ҷо
2 бошад
2 ) 0 ( саҳ.)
ӯ

фарз кунем, ки шарти x = 0 дорои чунин чизҳост
мо мешавем:
2 бошад
1 24) 0 ( саҳ
ӯ


;
2 бошад
3 2) 0 ( саҳ.)
ӯ

.
Акнун мушкилоти зерин Коши ), ( 2
Мо ҷустуҷӯи ҳалли pxu :
), ('
uxFu

,
(38)
2 бошад
1 24) 0 ( саҳ
ӯ


;
2 бошад
2 ) 0 ( саҳ.)
ӯ
;
2 бошад
3 2) 0 ( саҳ.)
ӯ

.
Тавлидшуда ), ( 2
Ҳалли pxu аз параметрҳои p 2 ба таври хатӣ вобаста аст
бинобар ин онро наметавон ба мисли материяи хатӣ ҷустуҷӯ кард. ), ( 2)
pxu
функсияи векторӣ, ки ҳалли матлуби масъалаи сарҳадӣ мебошад
барои ин вай бояд шароити зерини сарҳадиро қонеъ гардонад:
262.2) 1 (
) 1 (
1
2 бошад


у
ӯ
.
Ҳамин тариқ, саҳ 2
Арзиши параметр зерин ғайридавлатӣ аст
мо аз муодиларо меёбем:
0
262.2), 1 (
), 1 (
) (
2 бошад
1
2 бошад
2 бошад
2 бошад
1



≡
саҳ
ӯ
пу
pf
.
Мо ҳалли ин муодиларо бо яке аз усулҳои ададӣ меҷӯем.
) ( 2 )
1 pf
ба ҳисоб арзиши дар як дода саҳ 2 (38) Cauchy
Компоненти ҳалли масъала дар x = 1 истифода мешавад. саҳ 2 ning
Вақте ки арзиши тақрибии (38) пайдо мешаванд, мушкил боз ва аввалаш ҳал мешавад
ҷузъи), ( 2
pxu
Ҳалли масъалаи сарҳади додашуда
ҳалли.
Мисоли 4 Дар зер мушкилаи сарҳадии ғайримарҳилии чорум тартиб дода шудааст
Алгоритми усули тирандозӣ (тирандозӣ) -ро ҳал намоед:
) 125.3
75,0 аст
625.2 (
'
125.0 ''
25.0''2
2 бошад
2 /
2 /
2 бошад
IV








х
х
д
uu
д
ux
xu
ӯ
х
х
,
] 1.0 [
∈
х
.
0) 0 ('2) 0 (

у
ӯ
, 136.18) 1 ('' 2) 1 (

u
ӯ
,
5.2) 0 (') 0 (2)

u
ӯ
, 824.0) 1 ('') 1 (2)


у
ӯ
.
Ҳалли. Дар зер барои ҳалли ин мушкилоти марзӣ нав аст
Мо тағирёбандаро дохил мекунем:

Саҳифаи 23

23
) () (
1
xuxu

, ) () (
2 бошад
xuxu ′

,
) (
) (
3
xuxu
′′

,
) (
) (
4 бошад
xuxu
′′′

.
Натиҷа ба ҷои мушкили сарҳадии ғайримуқаррарии зерин оварда мешавад
бо ёрии системаи муодилаҳои дифференсиалии ғайрихаттӣ
Мо ба масъалаи сарҳад даромадем:
2 бошад
1 ' uu
;
3
2 ' uu
;
4 бошад
3 ' uu
;
) 125.3
75,0 аст
625.2 (
2 бошад
25,0 аст
125.0 '
2 бошад
2 /
4 бошад
3
2 бошад
21
2 /
4 бошад









х
х
д
xu
ux
uue
ӯ
х
х
. (39)
Шартҳои сарҳадӣ барои нишонаҳои нав инҳоянд
чунин навишта шудааст:
0) 0 (2) 0 (
2 бошад
1

у
ӯ
, 136.18) 1 (2) 1 (
3
1

u
ӯ
,
5.2) 0 (
) 0 (2)
2 бошад
1

u
ӯ
,
824.0) 1 (
) 1 (2)
3
1


у
ӯ
.
Аз шароити сарҳади x = 0 ба даст меоем:
1) 0 (
1

ӯ
, 5.0) 0 (
2 бошад

ӯ
.
Акнун (39) шартҳои зерини ибтидоии система
қаноатманд ),, ( 4
3
Мо ҳалли ppxu-ро меҷӯем :
1) 0 (
1

ӯ
, 5.0) 0 (
2 бошад

ӯ
,
3
3 ) 0 ( саҳ.)
ӯ

,
4 бошад
4 ) 0 ( саҳ.)
ӯ
.
(40)
Ҳалли натиҷа ҳалли дилхоҳи масъалаи сарҳад мебошад
Дар зерин муодилаҳои ғайрихаттӣ нисбат ба саҳ 3 , саҳ 4 larga дар х = 1
шароити канории системаро қонеъ мекунад:
0
136.18),, 1 (2),, 1 (
), (
4 бошад
3
3
4 бошад
3
1
4 бошад
3
1



≡
саҳ
ӯ
саҳ
ӯ
саҳ
,
0
824.0),, 1 (
),, 1 (2), (
4 бошад
3
3
4 бошад
3
1
4 бошад
3
2 бошад



≡
саҳ
ӯ
саҳ
ӯ
саҳ
.
Ҳалли ин системаи муодилаҳои алгебравӣ бо усули Нютон аст
мо меҷӯем. Фарз мекунем,
0
3
p ва 0
4 бошад
p тахминҳои ибтидоӣ маълуманд
даст Мо тахминҳои навбатиро бо тартиби зерин ҳисоб мекунем:
н
н
н
саҳ
саҳ
3
3
1
3



,
н
н
н
саҳ
саҳ
4 бошад
4 бошад
1
4 бошад



,
ки дар он н
3
ва н
4 бошад
системаи зерини муодилаҳои хаттии алгебравӣ мебошад
ҳалли:
), (
), (
), (
4 бошад
3
1
4 бошад
4 бошад
3
4 бошад
1
3
4 бошад
3
3
1
н
н
н
н
н
н
н
н
саҳ
саҳ
саҳ
ф
саҳ
саҳ
ф


∙
∂
∂

∙
∂
∂


,
), (
), (
), (
4 бошад
3
2 бошад
4 бошад
4 бошад
3
4 бошад
2 бошад
3
4 бошад
3
3
2 бошад
н
н
н
н
н
н
н
н
саҳ
саҳ
саҳ
ф
саҳ
саҳ
ф


∙
∂
∂

∙
∂
∂


.

Саҳифаи 24

24
Алгоритми ҳисоб кардани сутуни якуми матриқаи Яъқубро биёед.
Дар ин ҳолат n = 0
н
саҳ
саҳ
3
3 
ва
н
саҳ
саҳ
4 бошад
4 
сар карда аз (39) - (40) мушкилоти Коши
Бо истифода аз ҳалли гирифта ҳисобҳои зеринро ҳисоб ва ҳисоб кунед:
0
136.18),, 1 (2),, 1 (
), (
4 бошад
3
3
4 бошад
3
1
4 бошад
3
1
1



≡
≡
н
н
н
н
н
н
саҳ
ӯ
ппу
ppff
,
0
824.0),, 1 (
),, 1 (2), (
4 бошад
3
3
4 бошад
3
1
4 бошад
3
2 бошад
2 бошад



≡
≡
н
н
н
н
н
н
саҳ
ӯ
ппу
ppff
.
Анди
3
3
3
hpp
n 

ва
н
саҳ
саҳ
4 бошад
4 
(39) - (40) бори дигар
масъалаҳои зеринро ҳисоб ва ҳисоб кунед:
0
136.18),
, 1 (2),
, 1 (
),
(
~
4 бошад
3
3
3
4 бошад
3
3
1
4 бошад
3
3
1
1





≡

≡
н
н
н
н
н
н
php
ӯ
phpu
phpff
,
0
824.0),
, 1 (
),
, 1 (2),
(
~
4 бошад
3
3
3
4 бошад
3
3
1
4 бошад
3
3
2 бошад
2 бошад





≡

≡
н
н
н
н
н
н
php
ӯ
phpu
phpff
.
Ҳоло мо нависем:
3
1
1
4 бошад
3
3
1
~~
), (
х
ff
саҳ
саҳ
ф
н
н
н

≈
∂
∂
,
3
2 бошад
2 бошад
4 бошад
3
3
2 бошад
~~
), (
х
ff
саҳ
саҳ
ф
н
н
н

≈
∂
∂
.
Дурустии ҳисоби ӣ ва
1
0
3 ≤
саҳ
агар ин тавр бошад


3
х
гуфта метавонем
баръакс, агар
1
0
3 
саҳ
агар ин тавр бошад
0
3
3
саҳ
х
∙

гуфта метавонем. Яъқуб
ҳисобкунии сутуни дуввуми матритса бо ҳамин тарз анҷом дода мешавад.
Пас, вақте ки қиматҳои тахминии p 3 ва p 4 пайдо мешаванд, (39) - (40)
Мушкилот ва ҳалли он ҳал карда мешавад
),, ( 4)
3
ppxu
- Аввал
компонент ҳалли мушкилии ибтидоии сарҳад хоҳад буд.
5-масалан. Танзими зерин хатӣ аст, аммо шартҳои сарҳадӣ
як мушкилоти сарҳади ғайримарҳилии чорум, ки ғайри хатӣ мебошанд
Алгоритми усули тирандозӣ (тирандозӣ) -ро ҳал намоед:
) 5
4 (4)
32 '
28''4
2 бошад
2 бошад
IV
2 бошад






х
д
ӯ
xu
ux
ӯ
х
,
] 1.0 [
∈
х
.
2 бошад
) 0 ('' ') 0 (') 0 (2 


∙
ӯ
ӯ
ӯ
, 3) 1 ('') 1 (
2 бошад

u
ӯ
,
1) 0 ('' '3) 0 (' ') 0 (' 2) 0 (


∙

ӯ
ӯ
ӯ
ӯ
,


2) 1 ('' '
) 1 ('
3 
u
ӯ
.
Ҳалли. Дар зер барои ҳалли ин мушкилоти марзӣ нав аст
Мо тағирёбандаро дохил мекунем:
) () (
1
xuxu

,) () (
2 бошад
xuxu ′

,
) (
) (
3
xuxu
′′

,
) (
) (
4 бошад
xuxu
′′′

.
Натиҷа ба ҷои мушкили сарҳадии ғайримуқаррарии зерин оварда мешавад
бо системаи муодилаҳои дифференсиалии дуввуми қатори ғайримуқаррарии муқаррарӣ
Мо ба мушкилоти ин сарҳад рӯ меорем:
2 бошад
1 ' uu
;
3
2 ' u
u ;
4 бошад
3 ' uu
;
) 5
4 (4)
4 бошад
28
32 '
2 бошад
3
2 бошад
2 бошад
1
4 бошад
2 бошад





х
д
ux
xu
ӯ
ӯ
х
, (41)
шартҳои сарҳади он чунинанд:
2) 0 (
) 0 () 0 (2)
4 бошад
2 бошад
1



∙
ӯ
ӯ
ӯ
, 1) 0 (3) 0 () 0 (2) 0 (
4 бошад
3
2 бошад
1


∙

ӯ
ӯ
ӯ
ӯ
, (42)

Саҳифаи 25

25
3) 1 (
) 1 (
3
2 бошад
1

u
ӯ
,
2) 1 (
) 1 (
3
4 бошад
2 бошад

u
ӯ
.
(43)
Дар ин ҷо шартҳои сарҳади муодилаи хатӣ ғайрихаттӣ мебошанд
бо истифода аз алгоритми усули тирандозӣ (тир) дар назди ӯ
намешавад. Аз ин рӯ, х = 0 shartshartdan сарҳад
мо метавонем боқимондаи он ду ҷузъи векторро ифода намоем.
Ин ҷо
1
1
пу

ва
3
3
саҳ
u 
даст бароҳат, сипас 2 ва 4 ҳисоботдиҳанда
Мо системаи зерини ду муодилаи хатиро эҷод мекунем:
│
│
⎩
│
│
⎨
⎧







⇒
⎩
⎨
⎧



∙



∙
⇒
⎩
⎨
⎧


∙




∙
.
3
2 бошад
) 0 (
,
)
3 (2)
7
) 0 (
, 1
3
2 бошад
, 2
2 бошад
, 1
3
2 бошад
, 2
2 бошад
3
1
3
2 бошад
1
1
4 бошад
3
1
1
2 бошад
1
4 бошад
3
2 бошад
4 бошад
2 бошад
1
4 бошад
3
2 бошад
1
4 бошад
2 бошад
1
саҳ
саҳ
саҳ
ӯ
саҳ
саҳ
ӯ
саҳ
ӯ
пу
uup
ӯ
uu
ӯ
uuu
Ин ),, ( 3
1
ppxu ҳалли роҳи зеринест Коши :
) (
) ('
xfuxAu


,
(44)
.
3
2 бошад
,,
)
3 (2)
7
,
) 0 (
3
1
3
2 бошад
1
1
3
3
1
1
1
│
│
⎠
⎞
│
│
⎝
⎛






саҳ
саҳ
саҳ
саҳ
саҳ
саҳ
саҳ
ӯ
Ҳалли ин масъала шарти сарҳадӣ дар x = 0 аст
бояд қонеъ карда шавад. Акнун барои шартҳои x = 1, p 1 ва
p 3 ҳалли системаи муодилаҳои ғайрихаттӣ бо параметрҳои зерин мебошад
бояд:
03), 1 (
),, 1 (
), (
3
1
3
3
1
2 бошад
1
3
1
1



≡
саҳ
ӯ
саҳ
ӯ
саҳ
,
02),, 1 (
),, 1 (
), (
3
1
3
4 бошад
3
1
2 бошад
3
1
2 бошад



≡
саҳ
ӯ
ппу
саҳ
.
Ҳалли ин системаи муодилаҳо дар худи ҳамон мисоле оварда шудааст, ки дар мисоли 4 оварда шудааст
монанди алгоритм, мо бо усули Нютон
Дар ин мисол, вақте ки қиматҳои тахминии p 1 ва p 3 пайдо шудаанд, (44) мушкилот аст
ҳал ва ҳалли он),, ( 3
1
ppxu
- ҷузъи аввал
роҳи ҳалли мушкилоти сарҳадии аввалия хоҳад буд.
Мисоли 6 Алгоритмро барои ҳисоб кардани вазифаҳои зерин созед:
∫



1
0
2 ) '' '.
(
dx
xuuxu
Ман
,
Дар ин ҷо u ( x ) ҳалли мушкилии зерини марзӣ мавҷуд аст:
) 21
36
26 (
2 бошад
12'4 '' '|
2 бошад
3
IV
2 бошад






х
х
xe
ӯ
ux
xu
ӯ
х
, x ∈ [0; 1],
4) 0 (''

ӯ
, 6) 0 ('' '

ӯ
,
д
u 3) 1 (

,
д
u 7) 1 ('

.