Барча зарядлар вужудга келтирган
N
тула оцим алодида
зарядлар вужудга келтирган оцимларнинг алгебраик йигинди-
сига тенгдир, яъни
=
(
5
)
Бу натижа юцорида таърифланган Остроградский — Гаусс
теоремасини ифодалайди.
Остроградский — Гаусс теоремасидан цатор*мудим
натижа-
лар келиб чицади.
■,
Биринчидан, теоремадан кучланганлик чизицлари фацат
мусбат зарядлар турган жойда бошланиб, манфий зарядлар
турган жойда
т у г а ш щ ш
яна цайтадан келтириб чицарамиз.
Иккинчидан, агар биз алгебраик йигиндиси нолга тенг бул
ган зарядларни уз ичига олган берк сирт олсак, сиртдан утув
чи тула кучланганлик оцими нолга тенг булади; бу шу сирт
билан чегараланган дажмдан чицувчи чизицлар сони дажмга
кирувчи чизицлар сонига тенг эканлигини курсатади.
Учинчидан, агар берк сирт майдонда шундай утказилган
булсаки,
унинг ичида зарядлар булмаса, у долда кучланган
лик чизицлари сиртнинг ичида бошланмайди дам, тугалланмай-
ди дам, балки уни кесиб утади. Демак, кирувчи чизицлар со
ни чицувчи чизицлар сонига тенг булади ва сирт орцали утув
чи кучланганлик оцими нолга тенг булади.
127- §. О с т р о г р а д с к и й —Г а у с с т е о р е м а с и н и н г я н а д а а н и ц р о ц ч и ц а р и -
л и ш и . 126- § да
курилган масалаларнинг мудимлиги туфайли О строградс
к и й — Гаусс теоремасини
кучланганлик чизиклари туш унчасига асосланма-
ган долда, бевосита Кулон
конунидан
чикарамиз.
Олдинги долдагидек,
майдонни шундай кичик содаларга буламизки, бу содалар ичида майдонни
бир жинсли деб дисоблаш мумкин булсин.
А гар
шундай содада чексиз кичик
d S
юзача олсак (24- раем), бу юзача
ичида Е кучланганликнинг катталиги ва йуналишини бир жинсли деб олиш
мумкин. Ю зач ага утказилган нормални п билан белгилаб, унинг мусбат йу
налишини танлаб оламиз.
d S
юзачадан утган кучланганликнинг
d N
элем ен
тар окими
d N = Е„ d S
муносабат билан ифодаланади, бунда
Е п
катталик Е векторнинг п нормаль
йуналишидаги проекцияси. Энди
d S
элемент
du>
фазови й бурч ак остида ку-
ринадиган нуктад а жойлашган
q
нуктав ий
заря д вужудга келтирган ва
d S
юзачадан утувчи элементар окимни топайлик (24- раем). Кулон конунига
кура, Е кучланганлик заряд жойлаш ган нуктадан чикувчи г рад иус-в ектор
буйлаб йуиалгандир. Шунинг учун п нормаль билан Е кучланганлик о р аси
даги а бурч ак сирт элементлари
d S
ва
d S 0
орасидаги бурчакка тенгдир (
d S a
бунда
d S
нинг радиус-вектор г га перпен дикуляр йуналишдаги проекцияси).
Бундан куйидаги келиб чикади:
d N = Е п d S = Е
cos a
d S = E d S a.
Кулон конунига мувофик
булганидан,
d N
нинг ифодасини куйидаги куринишда ёзиш мумкин:
d N — j z d S 0.
d S 0
—j- катталик — та ъ р и ф буиича, заря д турган жойдан
d S
элемент куринади-
ган
du>
фазовий бурчак. Нидоят, куйидаги ифодани досил киламиз:
d N
=
qdu
>,
( 1)
яъни нуцтавий зар я д досил килган ва
d S
сирт элем ентидая утувчи
d N
кучланганлик
элем ентар окими
q
зар я д
катталигининг
d S
сирт элементининг заря д жойлаш ган нукта-
дан куриниш фазовий бурчаги
du>
каттали-,
гига купайтмасига тенгдир.
Берк сиртдан утувчи
N
тула оким сирт
элементларидан утувчи элементар окимлар-
нинг йигиндисидан иборатдир. Бирок эле
ментар окимлар чексиз кичик булгани учун
йигиндини интеграл билан алмаштириш за-
РУР:
N =
j
dN.
d N
учун
чикарилган (1) ф ормуладан
фойдаланиб, охирги ифодани куйидаги ку
ринишда ёзамиз:
N = q \. du>.
(2)
Юкорида олганимиздек, агар нормаль берилган
сирт билан чегараланган
дажмдан чикаётган булса, унинг бу йуналишини мусбат деб дисоблаш га
шартлаш ай лик, шунингдек, агар заря д жойлаш ган нуктадаи
К а р а г а н д а
сирт-
нинг ички томони куринса, фазови й бурчакни мусб ат деб оламиз.
А гао зар я д сирт ичида жойлашган булса, у долда (2) фор муладаги инте
грал берк сиргнинг шу сирт ичидаги нуктадаи куринадиган тула фазовий
бурчаги буйича олиниши керак. Маъ'лумки, бу фазовий бу рчак 4л га тенг
дир. Шунинг учун
N = q
j ”
du>
= 4
nq.
А гар зар я д берк сиртдан таш кари да булса (25- раем), дар бир
da>
эле
ментар фазовий бу рчак интеграл остига плюс ишора билан дам (ички томо
ни заря д турган жойдан куринадиган tfSj сирт элементи учун) минус ишора
билан дам (ташки томони заряд
турган жойдан куринадиган
d S 2
элементи
уч ун) киради; демак, бу долда бурч аклар буйича интеграллашнинг натижа-
си ноль булади, бундан
N =
0 эканлиги келиб чикади.
Бу интеграллаш лар натижаси О строград ский — Гаусс теоремасидан ибо
ратдир: берк сиртдан утувчи кучланганлик окими шу сирт ичидаги з а р я д
катталигининг 4л га купайтмасига тенгдир.
24-расм. О строград ски й —Гаусс
теоремаси ни
янада
ан икрок
чикариш га дойр.
