Umumiy fizika kursi (ii-tom)

131-§. Электростатик майдон кучланган­
лиги билан потенциал орасидаги богланиш.
Энди потенциал билан кучланганлик орасида­
ги богланишни аницлайлик. Бундай богланиш- 
нинг бор эканлиги электр кучларининг ба­
жарган иши кучланганлик орцали дам, майдон 
нукталарининг потенциаллари айирмаси орца- 
ли дам ифодаланиши мумкинлигидан келиб 
чикади.
Ихтиёрий электростатик 
майдон олиб, 
унда бир-бирига якин иккита потенциал сатди 
сиртлари утказамиз. Бир сиртнинг потенциали 
V,
иккинчисиники 
V + A V
булсин; А
1 / > 0
деб оламиз (40- раем). 
V
потенциал сатди 
сиртининг бирор 
В
нуктасида потенциалнинг 
ортиш йуналишида сатдлар сиртига 
п 
нормаль утказамиз. 
п
нормалнинг 
1
/ + Д
1
/ сатди сирти билан кесишиш нук'гасини 
В'
билан белгилаймиз. 
В
ва 
В'
нукталар орасидаги масофа
40- раем. 
Б и р-би­
рига якин 
ж ой ­
лашган иккита По­
тенциал сатдларга 
утказилган п нор­
маль.

---

Ап
га тенг булсин. Е кучланганлик потенциал сатди сиртига 
перпендикуляр, яъни п нормаль буйлаб йуналгандир, шу билан 
бирга, 
В
ва 
В'
нуцталар бир-бирига яцин жойлашганлиги учун 
улар орасидаги бутун масофада Е майдон кучланганлигини 
тацрибан узгармас дейиш мумкин. У долда бирор 
q
зарядни 
В
нуцтадан 
В '
нуцтага кучиришда бажарилган ишни куйидаги 
куринишда ёзиш мумкин:
А
=
q Е А п.
Иккинчи томондан, шу 
А
ишнинг узини 
В
ва 
В ’
нуцталар по- 
тенциалларининг айирмаси орцали ифодалаш мумкин:
A = q[ V - ( V + A V ) ] .
А
ишнинг иккала ифодасини таццосласак, цуйидагини топамиз:
Е- Ап = — AV,
бу тенгликдан 
Е
учун цуйидаги ифода келиб чицади:
Минус ишора Е кучланганлик п нормаль йуналишига царама- 
царши томонга йуналганлигини курсатади. Х,акицатан дам, п 
нормални потенциалнинг ортиш йуналишида утказдик, Е куч­
ланганлик эса таърифга кура, мусбат зарядга таъсир этаёгган 
куч йуналишида, яъни потенциалнинг камайиш томонига йу­
налгандир. Агар 
( 1 )
формулада 
Ап
=
1 
деб олсак, цуйидаги таъ­
риф келиб чицади: 
майдон куч ла нга нли ги сон ж идатдан
пот енциалнинг пот енциал сат%и сиртига перпендикуляр
йуналиш да олинган у з у н л и к бирлигидаги узгариш ига тенг
ва пот енциалнинг камайиш томонига йуналгандир.
Потенциал сатди сиртларига перпендикуляр йуналишда ку- 
чишда потенциалнинг ортиш йуналишида узгариш тезлигини
ифодаловчи 
~
катталик 
пот енциал 
градиенти
дейилади.
Градиент дацидаги тушунчадан фойдаланиб (1) ифодани цуйи- 
дагича таърифлаш мумкин: 
майдон куч ла нга нли ги сон жи-
Хатдан пот енциал градиентига тенгдир.
Куйидаги м и с о л н и курайлик.
Х,ар бирининг потенциали доимий булган иккита параллел 
текислик орасидаги электростатик майдон кучланганлигини 
аницлайлик.
Иккита параллел чексиз текислик олиб, уларнинг потен- 
циалларини l/j ва V
3
билан белгилаймиз. Текисликлар ораси­
даги масофа 
d
га тенг ( 4 1 - раем). Симметрия мулодазаларига 
кура, потенциал сатди сиртлари берилган текисликларга па­
раллел текисликлардан иборат булади.

---

Зарядланган текисликлар 
орасидаги барча 
нуцталарда 
электростатик майдон кучланганлиги бир хил ва текисликлар- 
га перпендикуляр йуналгандир. Сатд сиртига перпендикуляр 
йуналишдаги узунлик бирлигида потенциал узгаришини л'опиб, 
кучланганликнинг сон цийматини досил циламиз:
V2
Кучланганлик потенциалнинг камайиш томонига 
йуналган. Шундай цилиб, потенциали маълум бул­
ган иккита текислик орасидаги майдон кучланган­
лиги бу текисликлар потенциаллари айирмасига 
тугри пропорционал ва улар орасидаги масофага 
тескари пропорционалдир.
Майдон бир жинсли булмаганда унинг бирор нуцтасида- 
ги 
Е
кучланганликнинг алгебраик катталигини Д
п
чексиз ка- 
A V
майганда —
(
2
)
v, a h
Т
А п
нисбат интиладиган лимитга тенг деб оли-
шимиз керак:
( A V \
lim ( 
— )
.
| 
дп-»о'Аи
ёк и дифференциал дисоб белгиларидан фойдалансак,
d V
d n
41- раем. З а ­
рядланган 
иккита т е ­
кислик.
(2а)
Вектор дисобида ишлатиладиган 
градиент
тушунчасидан фойдаланамиз. 
С
скал яр 
х , у, z
координаталарнинг функцияси сифатида берилган булсин. 
g rad
С
деб шундай А вектор назарда тутиладики, бу векторнинг тугри 
бурчакли координаталар системасининг уцлари буйлаб йуналган 
А х , А у , А г
ташкил этувчилари
А х - д х
А
Л У ~ ду
А — —
~ dz
(
3
)
м ун осабатлар билан аницланади. Бу вектор д а р бир нуцтада 
С
ск аляр с ат­
ди сиртига утказилган нормаль буйлаб 
С
нинг ортиш томонига йуналгандир. 
Унинг узунлиги 
d C / d n
га тенг. Градиент тушунчаси ёрдамида (2а) тенглик- 
ни цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
d V
= ~
д х ' 
Е У
dV_
ду ’
Е
~~ 
dz
(4>
Е = — g rad
V.
(4а)
Шундай цилиб, Е кучланганлик вектори 
V
потенциалнинг тескарй ишо­
ра билан олинган градиентига тенг экан.

---

1- м и с о л. Диполь уцида дип олнинг уз улчамларига нисбатан катта 
г
масоф ада майдон кучланганлигини аницлаймиз.
Бу масалани 124- § да бевосита ечган эдик. Майдон кучланганлиги ва 
потенциал орасидаги (2а) муносабатдан фойдаланиб, энди соддароц йул 
билан ечамиз. 
А
нуцтадаги потенциал (12- раем) -)- 
q
ва — 
q
зарядлар ву­
жудга келтирган потенциаллар йигиндисига тенгдир:
V
:
+
Я
г_
г_
/
г+
ва 
г _
масофалар 
I
дан анча кат та булганда тацрибан 
г + - г _ = г 2
була­
ди, бундан
ql 
р
У — ,-а —
Г2 '
бунда 
р
— диполь моменти.
Эквипотенциал сиртга 
А
нуцтада утказилган п нормалнинг йуналиши 
г
билан устма-у ст тушади, демак, (2а) формулага кура
Е — ~ d r ~ г*
булади, бу 124- § даги (5) формула билан бир хилдир.
132- §. К у ч л а н г а н л и к , п о т е н ц и а л з^амда д а ж м и й з а р я д л а р з и ч л и г и
о р а с и д а г и бо р л а н и ш . Электростатик майдон кучланганлиги билан зар я д ­
ларнинг тацеимланиш зичлиги узар о маълум дифференциал муносабат воси- 
тасида борланган булиб, бу му носабат майдоннинг дар бир нуцтаси учун 
уринлидир. Бу муносабагни О строградский — Гаусс теоремасини янада чу-
цурроц анализ цилиб топиш мумкин.
Текширилаётган содада заряд, умуман 
айтганда, доимий булмаган р дажмий зич- 
ликда тацеимланган деб ф ар аз цилайлик. 
Киррал ар и координата уцларига параллел 
ва 
d x , dy, d z
га тенг булган элементар 
куб ажратиб оламиз (42- раем). Кубнинг^ 
дажми 
d x d y d z
га тенг булади. Куб ки-' 
чик булгани сабабли унинг ичидаги барча 
нуцталарда р зар я д зичлигини доимий де- 
йиш мумкин: у долда куб ичидаги 
q
заряд 
р 
d x d y d z
га тенг булади. Куб маркази- 
даги (42- раемда юлдузча билан курсатил- 
ган) майдон кучланганлигини 
Е билан, 
унинг ташкил этувчиларини эса 
Е х , Е у , Е г
билан белгилаймиз.
Бунда 
1
ёцдаги 
Е х
ташкил этувчининг 
циймати:
42- раем. Майдон кучланганли­
гини дажмий зарядларнинг зич­
лиги билан богловчи ифодани 
чицаришга дойр.
'*1
дЕ х
Ох
1