193
Механическая система
или состояние ее движения
определяются рядом размерных и безразмерных параметров
и функций.
Рассматриваемая совокупность различных механических
систем, совершающих некоторые движения, мы всегда можем
ограничить соответствующим образом класс допустимых си-
стем и движений так, чтобы конкретная система и ее движение
определялись конечным числом размерных и безразмерных
параметров. Ограничение класса допустимых систем и движе-
ний всегда может быть достигнуто дополнительными требова-
ниями о фиксировании отвлеченных параметров и вида зада-
ваемых функций задачи в безразмерной форме.
Теория размерности позволяет получить выводы, выте-
кающие из возможности применять для описания физических
закономерностей произвольные или специальные системы
единиц измерений. Поэтому при перечислении параметров,
определяющих
класс движений, необходимо указывать все
размерные параметры, связанные с существом явления, неза-
висимо от того, сохраняют ли эти параметры фактически по-
стоянные значения (в частности, это могут быть физические
постоянные) или они могут изменяться для различных дви-
жений выделенного класса. Важно, что размерные параметры
могут принимать разные численные значения в различных
системах единиц измерения, хотя, возможно, и одинаковые
для всех рассматриваемых движений. Например,
при рас-
смотрении движений, в которых вес тел существен, мы обя-
зательно должны учитывать в качестве физической размер-
ной постоянной ускорение силы тяжести
g, хотя величина
g
постоянна для всех реальных движений. После того как
ускорение силы тяжести
g введено в качестве определяющего
параметра, мы можем, ничего не усложняя,
искусственно
расширять класс движений путем введения в рассмотрение
194
движений, в которых ускорение
g принимает различные зна-
чения. В ряде случаев подобный прием позволяет получить
практически ценные качественные выводы.
Как находить систему параметров, определяющих класс
явлений? Таблицу основных параметров, определяющих яв-
ление, всегда легко выписать, если задача сформулирована
математически. Для этого нужно отметить все размерные и
безразмерные величины, которые необходимо и достаточно
задать для того, чтобы численные значения всех искомых ве-
личин определялись уравнениями задачи. В ряде случаев
таблицу определяющих параметров можно составить, не вы-
писывая уравнений задачи. Можно просто установить те
факторы, которые необходимы для полного определения ис-
комой величины, численные значения которой иногда воз-
можно находить только экспериментально.
При составлении системы определяющих параметров
необходимо, как и при составлении уравнений задачи, схема-
тизировать явление. Тем не менее,
для применения теории
размерности нужно знать меньше, чем для составления урав-
нений движения механической системы. Для одной и той же
системы определяющих параметров могут быть различные
уравнения движения. Уравнения движения не только показы-
вают, от каких параметров зависят искомые величины, но со-
держат в себе потенциально также все функциональные свя-
зи, определение которых составляет математическую задачу.
Из этих соображений очевидно, что теория размерности
по существу ограничена. С помощью одной только теории
размерности мы не можем определить функциональных со-
отношений между безразмерными величинами.
Выводы теории размерности могут измениться, если мы
будем изменять уравнения движения путем умножения раз-
личных членов уравнений задачи на некоторые положитель-
195
ные или отрицательные безразмерные числа или функции,
зависящие от системы определяющих параметров. Подобные
видоизменения уравнений могут существенно влиять на ха-
рактер физических закономерностей.
Всякую систему уравнений, заключающую в себе мате-
матическую
запись законов, управляющих явлением, можно
сформулировать как соотношение между безразмерными ве-
личинами. Все выводы теории размерности будут сохранять-
ся при любом изменении физических законов, представлен-
ных в виде соотношений между одними и теми же безраз-
мерными величинами. Система определяющих параметров
должна обладать свойствами полноты.
Среди определяющих параметров должны обязательно
быть величины с размерностями, через которые могут выра-
зиться размерности всех зависимых параметров.
Некоторые
из определяющих параметров могут быть физическими раз-
мерными постоянными.
Ниже на отдельных примерах мы укажем способы ком-
бинирования методов теории размерности с соображениями,
вытекающими из симметрии, линейности задачи, математи-
ческих свойств функции при малых или больших значениях
определяющих параметров и т.п.
