Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

Разделяя здесь переменные, будем иметь: 
√
.
(11.16) 
Так как 
, 
,
то 
. 
Подставляя этот результат в уравнение (11.16), получаем: 
√
.
(11.17) 
Чтобы проинтегрировать уравнение (11.17), нужно 
найти квадратуру левой части. Для этого перейдѐм от пере-
менной φ к новой переменнойα, полагая: 
,
(11.18) 
где 
.
Тогда 
, 
откуда 
√
. 

---

225 
Кроме того, 
. 
Подставляя все эти величины в уравнение (11.17) и заменяя ω 
его значением (11.3), получим: 
√
√
.
(11.19) 
По принятым начальным условиям (11.15) при t=0 угол 
φ=0, а, следовательно, как видно из (11.18), и α=0. Тогда, бе-
ря от обеих частей уравнения (11.19) определѐнные интегра-
лы справа от 0 до t, а слева от 0 до α, получим закон движе-
ния маятника в виде 
∫
√
√
.
(11.20) 
Интеграл, стоящий в левой части равенства (11.20), 
представляет собой эллиптический интеграл первого рода. 
Величина k называется модулем эллиптического интеграла. 
Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е. 
∫
√
. 
(11.21) 
Если в равенстве (11.21) рассматривать верхний предел 
a как функцию от интеграла u, то такая функция носит назва-
ние амплитуды u и обозначается так: 
, или . 
(11.22) 
Беря от обеих частей равенства (11.22) синус, мы полу-
чим: 
.
(11.23) 
Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой 
так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, 
согласно уравнению (11.20), u=
√
, то, переходя в равенстве 

---

226 
(11.23) от α к φ с помощью формулы (11.18), найдѐм закон 
движения маятника, выраженный эллиптическую функцию 
sn, в виде 
√
.
(11.24) 
11.1.4. Период колебаний математического маятника в 
общем случае 
Найдѐм период T колебания маятника. Из положения
φ = 0 в положение φ = φ
0
маятник приходит за четверть пери-
ода. Так как, согласно равенству (11.18), при φ = 0 и 
= 0, а 
при φ = φ
0
величина
, то из уравнения (11.20) имеем: 
√
∫
√
. 
(11.25) 
Таким образом, определение периода колебаний маят-
ника сводится к вычислению величины 
∫
√
(
) ,
(11.26) 
представляющий собой четверть периода эллиптического ин-
теграла (11.21). 
Известно (формула Валлиса), что 
∫
. 
(11.27) 
Разлагая в выражении (11.26) подынтегральную функ-
цию в ряд, получим: 
√
. 
Тогда, используя формулу (11.27), будем иметь: 
∫
√
[ (
)
]
(11.28) 
Подставляя это значение K в равенство (11.25) и учитывая, что 

---

227 
, получим для периода колебаний плоского матема-
тического маятника выражение 
T=2
𝜋√
[ (
)
]. (11.29) 
Следовательно, чем больше φ
0
(угол размаха), тем 
больше период колебания маятника. Таким образом, матема-
тический маятник свойством изохронности не обладает. Если 
при малых размерах ограничиться в формуле (11.29) только 
двумя первыми членами, то, полагая
, получим 
приближѐнное выражение периода 
T
2𝜋√
.
(11.30) 
Таким образом, получено уравнение простого гармони-
ческого колебания, закон движения для малых колебаний, за-
кон движения маятника через эллиптическую функцию, а 
также выражение для периода колебаний маятника.