|
нормальными модами. Нормальные моды представляют со-
бой действительную часть комплекснозначной векторной
функции
(
) [(
) ]
где H
1
, H
2
− собственные векторы, ω − действительная часто-
та. Значения нормальных частот ω
1, 2
определяются из реше-
ния характеристического уравнения
det(K
M)=0.
Выведем общие формулы для циклических частот ω
1, 2
в случае произвольных масс m
1
, m
2
и длин l
1
, l
2
:
|
| ,
|
|=0,
(
) (
)
(
)
+
(
)
+
= 0.
Мы получили биквадратное уравнение для частот ω.
Вычислим дискриминант:
D=m
2
(l
1
+l
2
)
2
g
2
4m
1
mg
2
l
1
l
2
=g
2
m[m(l
1
+l
2
)
2
4m
1
l
1
l
2
].
Таким образом, квадраты нормальных частот ω
1, 2
равны
√
или
234
,
√
-
Данное выражение является несколько громоздким. По-
этому далее рассмотрим случай, когда длины стержней обоих
маятников равны: l
1
= l
2
= l. Тогда нормальные частоты будут
определяться более компактной формулой
[2lm
√
=
√
=
=
√ , где
.
Как видно, собственные частоты ω
1, 2
зависят лишь от
отношения масс μ = m
2
/ m
1
. Зависимости частот ω
1
, ω
2
от па-
раметра μ (при условии
/ l = 1) показаны выше на рисунке 3.
В частности, при равных массах m
1
= m
2
= m, т.е. при μ = 1,
собственные частоты равны
√
√ √
Общее решение системы дифференциальных уравне-
ний (1) записывается в виде
(
) = Re[(
)exp(i )]=
=
(
√
)
(
√
),
где постоянные C
1
, C
2
, φ
1
, φ
2
зависят от начальных положе-
ний и скоростей маятников.
Рассмотрим характер малых колебаний для некоторого
конкретного набора начальных данных. Пусть, например, ко-
ординаты и скорости маятников в начальный момент имеют
такие значения:
𝜋
̇
̇
235
В этом случае начальные фазы равны нулю: φ
1
= φ
2
= 0.
Определим постоянные C
1
и C
2
:
{
√
√
C
1
= - C
2
,
2C
2
√
,
C
2
√
,
C
1
√
.
Тогда закон колебаний маятников выражается форму-
лами
√
√
,
,
где циклические частоты ω
1,
ω
2
определяются соотношением
√
√ √ ,
√
√ √ .
Здесь углы α
1
( t), α
2
( t) выражаются в радианах, а время t
в секундах. На рисунках 4-6 приведены графики малых коле-
баний маятников для трех значений μ: μ
1
= 0.2, μ
2
= 1, μ
3
= 5,
при l = l
1
= l
2
= 0.25 м, g = 9.8 м/ c
2
.
Углы отклонения маятников для удобства приведены в
градусах. Из графиков видно, что в системе происходят бие-
ния, при которых энергия циклически переходит от одного
маятника к другому. Когда один маятник почти останавлива-
ется, другой раскачивается с максимальной амплитудой. Че-
рез некоторое время маятники "меняются ролями" и так да-
лее. Колебания с большей частотой ω
1
модулируются более
низкочастотными колебаниями с частотой ω
2
. Это особенно
хорошо заметно на рисунке 6 при большом значении
μ ( μ
3
= 5), когда разница между частотами ω
1
и ω
2
велика.
236
Рис. 4. Зависимость углов α
1
, α
2
от времени t при
μ
1
= 0.2
Рис. 5. Зависимость углов α
1
, α
2
от времени t при
μ
2
= 1
Рис. 6. Зависимость углов α
1
, α
2
от времени t при
μ = 5
Итак, малые колебания двойного маятника имеют пери-
одический характер и описываются суммой двух гармоник с
частотами ω
1
, ω
2
, зависящими от параметров системы. Ха-
рактерным свойством малых колебаний двойного маятника
является эффект биений.
Наиболее распространенным методом численного ре-
шения дифференциальных уравнений является метод Рунге-
Кутты. Различные вариации этого метода используются в
большинстве математических пакетов (MatLab, Maple,
Mathematica, Mathcad), как правило, с автоматическим кон-
тролем точности и адаптивным временным шагом.
Для численного моделирования движения двойного ма-
ятника воспользуемся вычислительными средствами универ-
сальной компьютерной системы «Mathematica». Предвари-
тельно несколько упростим дифференциальные уравнения
237
(11.31), полагая, что длины маятников одинаковы: l
1
= l
2
= l.
Введем также параметр μ, равный отношению массы второго
маятника к массе первого: μ = m
2
/ m
1
. Тогда система уравне-
ний (11.31) принимает следующий вид:
{
̈
̈
̇
̈
̈
̇
с начальными условиями:
,
̇
1
(0) =
̇
2
(0) =
0 и где введено обозначение
.
Описанная модель реализована для различных значений
параметров α
0
и μ в виде анимации, фрагменты которой при-
веденной ниже. Для упрощения начальные углы отклонения
маятников приняты равными: α
1
= α
2
= α
0
. Данное приложе-
ние наглядно демонстрирует хаотическую динамику двойно-
го маятника при различных значениях параметров μ и
.
Интересно, что в некоторых режимах в системе возникают
устойчивые траектории, как, например, на рисунке 7, или
компактные области притяжения, как на рисунке 8.
Рис. 7. Устойчивые траектории
двойного маятника
при μ = 2.75, α = 161°
Рис. 8. Компактные области
притяжения траекторий
двойного маятника
при μ = 1.28, α = 158°
238
Do'stlaringiz bilan baham: | 
