|
11. Примеры моделирования механических систем
11.1. Задача о колебаниях математического маятника
Математическим маятником называется тяжѐлая ма-
териальная точка, которая двигается или по вертикальной
окружности (плоский математический маятник), или по сфе-
ре (сферический маятник). В первом приближении математи-
ческим маятником можно считать груз малых размеров, под-
вешенный на нерастяжимой гибкой нити.
Рассмотрим движение плоского математического маят-
ника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1).
Пусть положение точки М (маятника) определяется углом от-
клонения φ радиуса ОМ от вертикали. Направим касательную
Mτ в сторону положительного отсчѐта угла φ. Уравнение
движения маятника составим на основании второго закона
Ньютона в виде
mW = F+N,
(11.1)
где F– действующая на точку активная сила;
W– ускорение точки M;
N– реакция связи.
Рис. 1. Схема колебаний математического маятника
221
Уравнение (11.1) мы получили по второму закону Нью-
тона, который является основным законом динамики и гла-
сит, что производная по времени от количества движения ма-
териальной точки равна действующей на неѐ силе, т. е.
(mv) = F
(11.2)
где v – скорость точки M.
Считая массу постоянной, можно представить уравне-
ние (11.2) в виде
или .
Итак, уравнение (11.1) в проекции на ось τ даст нам од-
но из естественных уравнений движения точки по заданной
неподвижной гладкой кривой:
или
=
.
В нашем случае получим в проекции на ось τ
,
где m – масса маятника.
Так как v = l
или v = l
, отсюда находим
Сокращая на m и полагая
,
(11.3)
будем окончательно иметь:
.
(11.4)
Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в
начальный момент маятник отклонѐн от вертикали на угол φ
0
и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия
будут:
222
при
= 0,
,
̇ .
(11.5)
Из интеграла энергии:
,
(11.6)
где V
потенциальная энергия, а h — постоянная интегриро-
вания, следует, что при этих условиях в любой момент вре-
мени угол φ ≤ φ
0
. Значение постоянной h определяется по
начальным данным. Допустим, что угол φ
0
мал; тогда угол φ
будет также мал и можно приближѐнно положить sin φ ≈ φ.
При этом уравнение (11.4) примет вид
.
(11.7)
Уравнение (11.7) есть дифференциальное уравнение
простого гармонического колебания. Общее решение этого
уравнения имеет вид
,
(11.8)
где A и B или a и ε суть постоянные интегрирования.
Отсюда сразу находим период T малых колебаний ма-
тематического маятника (период
промежуток времени, в
течение которого точка возвращается в прежнее положение с
той же скоростью)
и
,
т.к. sin имеет период равный 2
𝜋, то ωT=2𝜋, следовательно
T =
𝜋√
(11.9)
Для нахождения закона движения при начальных усло-
виях (11.5) вычисляем:
̇
(11.10)
Подставляя значения (11.5) в уравнения (11.8) и (11.10),
получим:
223
φ
0
= A, 0 = ωB,
т.е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колеба-
ний будет:
φ = φ
0
cosωt.
(11.11)
Найдѐм теперь точное решение задачи о плоском мате-
матическом маятнике. Определим сначала первый интеграл
уравнения движения (11.4). Так как
=
̇
̇
̇
̇
,
то (11.4) можно представить в виде
̇
̇
.
Отсюда, умножая обе части уравнение на dφ и интегри-
руя, получим:
̇
.
(11.12)
Обозначим здесь через φ
0
угол максимального отклоне-
ния маятника; тогда при φ = φ
0
будем иметь
̇ , откуда
C = ω
2
cos φ
0
. В результате интеграл (11.12) даѐт:
̇
,
(11.13)
где ω определяется равенством (11.3).
Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и
может быть непосредственно получен из уравнения
,
(11.14)
где
работа на перемещении M
0
M активной силы
F, если учесть, что в нашем случае v
0
=0,
̇ и
Из уравнения (11.13) видно, что при движении маятника
угол φ будет изменяться между значениями +φ
0
и
φ
0
(|φ|<φ
0
,
так как
̇
), т.е. маятник будет совершать колебательное
движение. Условимся отсчитывать время t от момента про-
224
хождения маятника через вертикаль OA при его движении
право (см. рисунок 1). Тогда будем иметь начальное условие:
при t = 0,φ = 0.
(11.15)
Кроме того, при движении из точки A будет
̇ ; из-
влекая из обеих частей равенства (11.13) квадратный корень,
получим:
√
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
