Учебное пособие "Методика преподавания математики"

4. Методика изучения натуральных чисел
Правильная ориентация в методике изучения натуральных чисел в V классе предполагает знание, с одной стороны, связи данной темы с курсом I -IV классов, с другой стороны - знание нового в содержании учебного материала и методике его изложения в V классе. Необходимо также учитывать общие особенности учебника математики V класса. В этом учебнике усиливается роль теоретического материала: приводятся определения, математические термины и обозначения, формулируются факты и законы, отдельные факты получают теоретическое объяснение. В учебниках соответствующий теоретический материал излагается в виде небольших фрагментов, после чего приводятся упражнения и задачи.
Рассмотрим методические вопросы изучения теоретического материала (понятий, фактов, обоснований) и решения задач.
В V классе даются определения (или описания) понятий: натурального числа, десятичной записи числа, миллиарда, координатного луча, координаты точки, суммы двух чисел, слагаемых, числового выражения, значения выражения, разложения числа по разрядам, разрядных слагаемых, разности двух чисел, уменьшаемого, вычитаемого, произведения двух чисел, множителей, частного двух чисел, делителя числа, кратного числа и др. При этом учителю необходимо различать, в каком случае в учебнике приводится полноценное в логическом отношении определение, а в каком - описание понятия, не претендующее на строгость.
Обратимся, например, к понятию натурального числа, являющемуся центральным в данной теме. В учебнике говорится, что "числа, употребляемые при счете предметов, называются натуральными числами" . С чем мы имеем дело в данном случае: с определением или описанием? Конечно, с описанием.
В математике при аксиоматическом построении теории натуральных чисел (например, на основе аксиом Пеано) понятие натурального числа является неопределяемым (исходным). Оно определяется косвенным способом: натуральным числом может быть любой объект, который удовлетворяет системе аксиом. В количественной теории натуральных чисел натуральное число определяется как мощность конечного множества. В учебнике по понятным причинам эти определения не приводятся. В тех случаях, когда понятие вводится описанием, заучивать соответствующую формулировку с учащимися, конечно, не нужно.
Посмотрим, каким образом вводятся понятия "вычесть из числа а число b", "разность чисел а и b", "уменьшаемое", "вычитаемое". В учебнике говорится: "Вычесть из числа а число b - значит найти такое число х, которое в сумме с числом b дает а: х + b = а. Число х называют разностью чисел а и b, число а - уменьшаемым, а число b - вычитаемым". Это уже пример настоящего определения, которое именно в таком виде широко используется в математической науке.
Наличие определений в V классе является одним из признаков повышения теоретического уровня изложения учебного материала. Понятие разности двух чисел должно быть разъяснено, а формулировка определения - тщательно отработана. Таким образом, учителю важно выяснить для себя, какие понятия, относящиеся к натуральным числам, вводятся в учебнике описанием, а какие - определением. Это позволит четче выделить элементы нового подхода в методике изучения натуральных чисел в V классе (по сравнению с методикой изучения числового материала в начальных классах).
Усиление роли теоретических объяснений проявляется в сочетании индукции и дедукции (приведите примеры).