Учебное пособие для студентов

Пример 5.2 [8].
Решить задачу, описанную в примере 5.1, используя для её решения схему «гибели».
Решение.
В нашем случае интенсивность отказов систе­мы до выхода из строя первой батареи λ₀ = 2λ = 0,2·10^-4 l/час, интенсивность отказов системы в проме­жутке времени от момента отказа первой батареи до отказа второй λ_ι =0,8·10^{- 4} l/ час. Тогда вероятность возникновения отказа системы рав­на вероятности возникновения двух отказов. На основании и формулы (5.55) преобразование Лапласа вероят­ности отказа будет
(5.55)
В нашем случае корни знаменателя равны:
s₀ = - 2λ; s₁ = - λ₁; s₂ = 0.
Знаменатель Β(s) равен
Β(s) = (s + 2λ) · (s + λ₁) · s = s³ + (2λ + λ₁) · s² +2λ  λ₁ · s,
а производная от знаменателя Β'(s) равна
Β'(s) = 3s² + 2s(2λ +λ₁) + 2λ  λ₁.
Тогда
Β'(s₀) = 12λ² – 4λ (2λ + λ₁) + 2λ  λ₁ = 2λ(2λ - λ₁) ,
Β'(s₁) = 3λ₁² - 2 λ₁(2λ + λ₁) + 2λ  λ₁ = λ₁(2λ - λ₁), Β'(s₂) = 2λ  λ₁.
Подставляя значения интенсивностей отказов, корней s_k и производных B'(s_k) в (5.56), получим
(5.56а)
Так как вероятность безотказной работы Р_с(t) = 1 - Р₂(t), то

что совпадает с решением, полученным по первому спо­собу в примере 5.1.
Среднюю наработку до первого отказа можно вычис­лить по формуле (5.58). В нашем случае
(5.58а)
что совпадает с решением по первому способу в примере 5.1.