Учебное пособие для студентов

Разделяем в нём переменные
dP₁(t) / P₁(t) = – λ₂dt (5.31)
и при его интегрировании получаем
ln P₁(t) = – λ₂ t +ln C, (5.32)
где ln C- постоянная интегрирования.
Учитывая свойства логарифма, получаем
P₁(t) = С · exp(- λ₂ · t). (5.33)
Ищем общее решение уравнения (5.29) в виде
P₁(t) = С(t) · exp(- λ₂ · t). (5.34)
Дифференцируя, имеем
dP₁(t) / dt = (dС(t) / dt) · exp(- λ₂ · t) - λ₂· С(t) · exp(- λ₂ · t). (5.35)
Подставив, выражения для P₁(t) и dP₁(t) / dt в уравнение (5.29), получим
(dС(t) / dt) · exp(- λ₂ · t) - λ₂· С(t) · exp(- λ₂ · t) + λ₂· С(t) · exp(- λ₂ · t) =
= λ₁· exp(- λ₁ · t). (5.36)
(dС(t) / dt) = λ₁· exp[(λ₂ - λ₁) · t]. (5.37)
При интегрировании последнего выражения получаем
(5.38)
где С₂- постоянная интегрирования.
Подставив в общее решение уравнения (5.29) найденное значение С(t), получим
(5.39)
Для определения постоянной интегрирования учтём, что при t = 0 Р₀(t) = Р₀(0) = 1, а значит по условию нормировки вероятности других состояний при t = 0 равны нулю [Р₁(0) = Р₂(0) = 0]. Тогда последнее выражение примет вид
P₁(0) = 0 = [λ₁ / (λ₂ - λ₁)] + С₂. (5.40)
Откуда
С₂ = λ₁ / (λ₁ – λ₂). (5.41)
И общее решение (5.39) уравнения (5.29) принимает вид
(5.42)
Следует отметить, что формулы (5.41) и (5.42) приближённые, так как при их выводе использовано инженерное правило А. Н. Колмогорова, установленное с использованием приближённого равенства
ехр(- λ · t) ≈ 1 – λ · t, (5.43)
справедливого лишь при значениях λ · t намного меньше единицы. С учётом приближённого равенства (5.43) формула (5.42) примет вид
(5.44)
в) найдя Р₁(t), определим вероятность безотказной работы системы Р(t) с учётом приближённого равенства (5.43):
Р(t) = P₀(t) + P₁(t) = exp(-λ₁· t) + λ₁· t = 1- λ₁· t + λ₁· t = 1; (5.45)
г) находим из нормировочного условия вероятность отказа системы:
Р₃(t) = 1 – Р(t) = 1 - 1 = 0. (5.46)
В результате видно, что для данной задачи расчёт с использованием системы дифференциальных уравнений для состояний S₀, S₁, S₂, составленных по инженерному правилу А.Н. Колмогорова, даёт слишком грубый результат, не пригодный для использования на практике, так как при выводе правила А.Н. Колмогорова при разложении ехр(- λ · t) в ряд не учтены члены, содержащие (-λ · t)², (-λ · t)³, (-λ · t)⁴ и т. д.
Поэтому при решении сложных задач расчёта надёжности для случаев ненагруженного и облегчённого резервирования замещением, а также резервирования замещением с учётом последействия целесообразно использовать рекуррентную формулу (5.21), либо производить вычисления по схеме «гибели» с использованием преобразования Лапласа [8]. Если произвести расчёт не удаётся, то проводят испытания на надёжность на математических моделях, либо обычные испытания изделий на надёжность.
Рассмотрим пример расчёта надёжности для случая резервирования замещением с учётом последействия.