Пример 5.1 [8].
Две аккумуляторные батареи работают на одну нагрузку. Интенсивность отказов каждой из них λ = 0,1·10-4 l/ час. При повреждении (отказе) одной из батарей интенсивность отказов исправной возрастает вследствие более тяжелых условий работы и равна λ1 = 0,8·10-4 l/час. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы в течение времени t = 1000 час, а также среднее время безотказной работы.
Решение.
В нашем случае имеет место общее резервирование с постоянно включенным резервом. Так как при отказе одной батареи интенсивность отказов другой, исправной, изменяется, то имеет место последействие отказов. Дублированная система исправна в течение времени t при следующих благоприятных ситуациях:
А - ни одна из батарей за время t не отказала;
Б - аккумуляторная батарея 1 отказала, проработав время τ < t, а батарея 2 оставалась исправной в течение времени t;
В - аккумуляторная батарея 2 отказала, проработав время τ < t, а батарея 1 оставалась исправной в течение времени t.
Можно найти вероятность безотказной работы системы РС(t) как сумму вероятностей благоприятных гипотез, т.е.
РС(t) = РА(t) + РБ(t) + РВ(t). (5.47)
Гипотезы Б и В одинаковы, поэтому РБ(t) = РВ(t)и тогда
РС(t) = РА(t) + 2РБ(t). (5.48)
Так как РА(t) есть вероятность того, что за время t ни одна из батарей не откажет, то
РА(t) = ехр(-2λ · t). (5.49)
Вероятность гипотезы Б можно вычислить, воспользовавшись выражением
(5.50)
где a1(τ) · dτ - вероятность отказа первой батареи в момент τ (вернее, в течение малого промежутка dτ); a1(τ) = λ · ехр(- λ ·) - частота отказов первой батареи в момент τ; P2(τ) = ехр(- λ ·) - вероятность безотказной работы аккумуляторной батареи 2 в течение времени τ, т.е. до отказа первой батареи; P2(t - τ) - вероятность безотказной работы батареи 2 за промежуток времени от τ до t. Так как в этом промежутке интенсивность отказов батареи равна λ1, то
P2(t - τ) = ехр[-λ1(t - τ)]. (5.51)
Подставляя все значения вероятностей в выражение (5.50) для РБ(t) и интегрируя, получаем
(5.52)
Тогда вероятность безотказной работы резервированной системы будет
РС(t) = РА(t) + 2РБ(t) =
= ехр(- 2λ · t) + 2 · λ·{ехр[-t(2λ - λ1)] -1}· [ехр(-λ1t)] / (λ1 - 2λ) =
= λ1· ехр(-2λ · t) / (λ1 - 2λ) - 2λ · [ехр(-λ1 t)] / (λ1 - 2λ). (5.53)
Подставляя в эту формулу значения времени t = 1000 час, а также значения интенсивностей отказов λ = 0,1·10-4 l/час и λ1 = 0,8·10-4 l/час, получаем РС(t) ≈ 0,999.
Средняя наработка до отказа Т1С определяется из соотношения (3.17)
(5.54)
Подставляя значения λ1 и λ, в эту формулу, имеем Т1С = 62500 час.
Расчет надёжности резервированных систем иногда полезно выполнять, используя схему «гибели» («чистого размножения») [8]. В соответствии с этой схемой преобразование Лапласа вероятности возникновения n отказов вычисляется по формуле
(5.55)
При неравных корнях знаменателя обратное преобразование Лапласа Рn(s) будет
(5.56)
В формулах (5.55) и (5.56) приняты обозначения: λ0 - интенсивность отказов системы до выхода из строя первого элемента; λ1 - интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа первого элемента до второго; λ2 - интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа второго элемента до третьего и т.д.; n - число отказавших элементов; sk = - λk - k-й корень знаменателя выражения (5.55); B'(sk) - производная знаменателя в точке sk.
При одинаковых опасностях отказов λί, т.е. λ0 = λ1 = λ2 =…= λn, расчетные формулы имеют вид
(5.57)
При расчетах надёжности по формулам (5.55) - (5.57) следует помнить, что они не определяют вероятности безотказной работы (или вероятности отказа) резервированной системы, а определяют лишь вероятность n-го состояния системы, т.е. вероятность того, что в системе откажут n элементов. Для вычисления вероятности безотказной работы «необходимо находить вероятности 0, 1, . . ., n отказов, когда система еще находится в работоспособном состоянии (исправна), и суммировать полученные вероятности.
Средняя наработка до отказа Т1С системы при использовании схемы «гибели» вычисляется то
(5.58)
где λί - интенсивность отказов системы до выхода из строя ί-го элемента.
Do'stlaringiz bilan baham: |