Учебное пособие для студентов магистерских программ москва Екатеринбург 014 удк ббк п

Методы сглаживания временного ряда 
Если статистический анализ временного ряда показывает, что в 
нем присутствует неслучайная компонента, следующим шагом явля-
ется ее выделение. Выделение неслучайной составляющей называет-
ся сглаживанием временного ряда. 
Сглаживание
представляет собой некоторый способ локального 
усреднения данных, при котором несистематические компоненты 
взаимно погашают друг друга. 
Методы сглаживания временных рядов могут быть разделены на 
два типа: аналитические и алгоритмические
59
.
В аналитических методах предполагается известным общий вид 
неслучайной составляющей. Например, можно сделать предположе-
ние, что неслучайная составляющая описывается линейной функци-
ей времени, т. е. 
, где 
и
– некоторые неизвестные 
параметры.
В аналитических методах используются модели регрессии, в ко-
торых в качестве зависимой (объясняемой) переменной выступает 
переменная 
x(t)
, а в роли объясняющей переменной — время 
t
. 
Алгоритмические методы не требуют знания общего аналитиче-
ского вида искомой функции, однако в этом случае результатом ре-
шения является не определенная функция, а некоторый алгоритм рас-
чета оценки для искомой функции 
f(t)
. 
Аналитические методы сглаживания (трендовые модели) 
В трендовых моделях используется метод аналитического сгла-
живания временного ряда
60
. В этих моделях основная тенденция раз-
вития процесса (тренд) рассчитывается как функция времени: 
ŷ
t
 = f(t)
(6.8) 
Для определения теоретических 
ŷ
с помощью метода наимень-
ших квадратов подбирается математическая функция, наилучшим об-
разом описывающая основную тенденцию временного ряда. В каче-
стве оценки точности трендовой модели используется коэффициент 
детерминации 
R
2
 = σ
ŷ
2
 / σ
y
2
(6.9) 
где 
σ
ŷ
2
– дисперсия теоретических данных, полученных по 
трендовой модели, 
σ
y
2
– дисперсия эмпирических данных.
59
Айвазян С.А., Мхиатрян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. – 
М.:ЮНИТИ, 1998. – 1022 с. 
60
Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Кн. 1. – М.: Финансы и статистика, 1983. 

---

200 
Если значение 
R
2
близко к 1, то можно утверждать, что трендо-
вая модель адекватна изучаемому процессу и отражает тенденцию 
его развития во времени.
Успешное использование метода аналитического выравнивания 
требует от исследователя глубокого понимания сущности изучаемого 
явления. 
Рассмотрим основные типы развития явлений во времени: 
-
Равномерное развитие – основная тенденция развития описы-
вается линейным трендом. 
-
Равноускоренное (равнозамедленное) развитие – развитие при 
постоянном увеличении (замедлении) темпа прироста уровней вре-
менного ряда. В этом случае основная тенденция описывается поли-
номом второй степени. 
-
Развитие с переменным ускорением (замедлением) – основная 
тенденция описывается полиномом третьей степени. 
-
Развитие с замедлением роста в конце периода – развитие, при 
котором прирост временного ряда с течением времени стремится к 
нулю. Основная тенденция описывается логарифмической функцией. 
-
Развитие по экспоненте – характеризуется постоянным тем-
пом роста (снижения). Основная тенденция описывается показатель-
ной (в частном случае экспоненциальной) функцией. 
-
Развитие по степенной функции – развитие с постоянным от-
носительным приростом уровней временного ряда.