Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

2-§. Involyutiv algebralar

Aytaylik X biror kompleks algebra bo‘lsin.

1-ta’rif. X ning har bir x elementiga biror x*
∈
X elementni mos qo‘yuvchi
aks ettirish quyidagi
1. ( x + y )* = x* + y*,
2. ( x)* = x*,
λ
__
λ
3. (xy)* = y*x*,
4. x** = x
to‘rt shartni qanoatlantirsa, u involyutsiya deyiladi. Bu yerda x,y
∈
X,
λ∈
C
.
Involyutsiya bilan ta’minlangan algebra involyutiv algebra deyiladi.
Masalan, C(K) algebrada f
→
f* aks ettirish involyutsiyadir ( f* funksiya f ga
kompleks qo‘shma funksiya).
Involyutsiyaga eng muhim misollardan biri bu Gilbert fazosidagi chiziqli
chegaralangan operatordan unga qo‘shma operatorga o‘tish amalidir.
Agar x element uchun x*=x tenglik o‘rinli bo‘lsa, x o‘z-o‘ziga qo‘shma
element deyiladi.
1-teorema. Aytaylik X Banax algebrasi bo‘lsin.U holda ixtiyoriy x element
uchun quyidagi tasdiqlar o‘rinli:
a) x + x* , i(x – x*) , xx* elementlar o‘z – o‘ziga qo‘shma elementlardir;
b) har bir x element yagona ravishda x=u+iv ko‘rinishda tasvirlanadi, bu
yerda u,v – o‘z-o‘ziga qo‘shma elementlar;
c) e - o‘z –o‘ziga qo‘shma element;
d) x ga teskari element mavjud bo‘lishi uchun x* ga teskari element mavjud
bo‘lishi zarur va yetarli. Bu holda
munosabat o‘rinli.
1
1
( *)
(
) *
х
х
−
−
=
Isboti. a) (x + x*)* = x* + x** = x* + x = x + x*.
Xuddi shuningdek, [i(x-x*)]*=i(x–x*) va (xx*)*=xx* bo‘lishi ko‘rsatiladi.
b) ravshanki, u va v elementlar sifatida mos ravishda (x + x*)/2 va (x –
x*)/2i elementlarni olish mumkin.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Endi, bunday yoyilmaning yagonaligini ko‘rsatamiz: aytaylik x yana bir,
boshqa usul bilan yuqoridagidek yoyilgan bo‘lsin, ya’ni x = u
′
+ iv
′
.
Agar h=v
′
–v elementni olsak, ravshanki, h*=h bo‘ladi. Shuningdek,
ih=(x – u
′
)–(x – u)=u - u
′
bo‘lgani uchun (ih)*=(u – u
′
)*=u – u
′
=ih ga ega
bo‘lamiz. Ikkinchi tomondan (ih)* = -ih* = -ih. Demak, ih=-ih . Bu tenglikdan h
= 0, ya’ni v = v
′
, u = u
′
kelib chiqadi.
v) e* = ee* bo‘lgani uchun a) ga asosan (ee*)*=(e*)*=e, ya’ni e=e*.
Demak, e o‘z –o‘ziga qo‘shma element
g) agar x ga teskari element mavjud bo‘lsa, u holda x*(x )*=(x x)*=e*=e,
ya’ni (x )*=(x*) bo‘ladi. Aksincha, (x*) mavjud bo‘lsa, u holda
x[(x*) ]*=[(x*) x*]*=e*=e,ya’ni x ga teskari element mavjud;
1
−
1
−
1
−
1
−
1
−
1
−
1
−