Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

V-BOB. ZAMONAVIY ALGEBRALAR HAQIDA MA’LUMOTLAR

1– §. Banax algebralari 
Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar X chiziqli fazoda yana bir amal, elementlarni ko‘paytirish
amali kiritilgan bo‘lib, u quyidagi
1. (xy)z = x(yz);
2. x(y+z) = xy+xz;
3.
α
(xy) = (
α
x)y = x(
α
y),
aksiomalarni qanoatlantirsa, X fazo algebra deyiladi. Bu yerda x, y, z
∈
X,
α∈
.
R
Agar ixtiyoriy x, y
∈X uchun xy=yx tenglik bajarilsa, X kommutativ algebra
deyiladi.
Agar X algebraning shunday e elementi mavjud bo‘lsaki, ex=xe=x tenglik
ixtiyoriy x
∈X uchun o‘rinli bo‘lsa, e element birlik element, qaralayotgan X esa
birli algebra deyiladi.
Ko‘rsatish mumkinki, agar algebrada birlik element mavjud bo‘lsa, u
yagonadir.
Haqiqatdan ham, agar e dan boshqa e
′ birlik element bor desak, u holda
ta’rifga ko‘ra: e
′=ee′=e bo‘lishi ravshan.
2-ta’rif. Agar X birli algebrada norma kiritilib, bu normaga nisbatan X
Banax fazosi bo‘lsa va ushbu
4.
xy
x
y
≤
⋅
, x,y
∈X;
5.
1
e
=
,
munosabatlar bajarilsa , u holda X Banax algebrasi deyiladi.
Umuman, har qanday Banax algebrasini birlik elementi bor algebra deb
qaralishi mumkin.
Agar algebraning birlik elementi mavjud bo‘lmasa, uni quyidagi usul bilan
birli algebragacha kengaytirish mumkin.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Haqiqatan, faraz qilaylik X algebra birlik elementga ega bo‘lmasin. Yangi
X
1
algebra sifatida
(
)
,
x
α
, x
∈X va α∈ juftliklarni olamiz va X
R
1
to‘plamda
algebraik amallar va normani quyidagicha kiritamiz:
(
) (
) (
)
,
,
,
x
y
x y
α
β
α β
+
=
+
+
,
(
) (
)
,
,
x
x
γ
α
γ γα
=
,
(
) (
) (
)
,
,
,
x
y
xy
y
x
α
β
α
β
⋅
=
+
+
αβ
,
(
)
,
x
x
α
α
=
+
.
Endi X
1
algebra va e=(0,1) element undagi birlik element ekanini tekshirish
qiyin emas.
1
e
=
bo‘lishi o‘z-o‘zidan ravshan.
Normaning 4- xosasini tekshiramiz:

(
) (

)
,
,
x
y
α
β
⋅
= ||
(
)
,
xy
y
x
α
β αβ
+
+
|| = || xy
y
x
αβ
+
||
≤
α
β
+
+

≤
xy

y
x
α
β
α
+
+
+
β

≤
x

y
y
x
α
β
α β
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
(
) (
)
x
y
α
β
+
⋅
+
=
(
) (
)
,
,
x
y
α
β
⋅
.
X
1
algebraning to‘laligi X ning va haqiqiy sonlar to‘plami
ning
to‘laligidan kelib chiqadi. Demak, X
R
1
algebra Banax algebrasi ekan. Ko‘rinib
turibdiki, X ni X
1
ning
( )
,0
х
ko‘rinishdagi elementlardan iborat qismi sifatida
qarash mumkin.
Aytaylik, X va Y algebralar berilgan bo‘lsin. F:
X
Y
→ biror chiziqli
akslantirishni qaraylik.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy x,y
∈X uchun F(xy) = F(x)F(y) munosabat bajarilsa,
F gomomorfizm deyiladi.
O‘zaro bir qiymatli gomomorfizm izomorfizm deyiladi.
Agar F izomorfizm, har bir x
∈X uchun
( )
F x
= x
tenglikni
qanoatlantirsa, u izometrik izomorfizm deyiladi.