Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

6-§. Funksional analizning variatsion hisobdagi
boshqa tatbiqlari haqida 

Yuqoridagi misollar bilan cheklangan holda bob so‘ngida variatsion

hisobning funksional analiz metodlari bilan yechiladigan asosiy masalalarini sanab
o‘tamiz:

a) Sirtda geodezik chiziqlarni topish haqidagi masala (berilgan ikki nuqtani

tutashtiruvchi eng kichik uzunlikka ega bo‘lgan chiziqlar)

Xususan, sfera uchun bunday geodezik chiziqlar katta doiraning

aylanalaridan iborat bo‘ladi.

Bu esa aviatsiya va suvda suzishda katta ahamiyatga ega.

b) boshlang‘ich tezlikni moddiy nuqtaning ikkinchi qo‘zg‘almas nuqta bilan
o‘zaro ta’sirida paydo bo‘ladigan tortishish kuchi ta’sirida harakati masalasi. Bu
masalaning yechimi sayyoralar, sun’iy yo‘ldoshlar va kosmik kemalarning
orbitalarini aniqlashda ishlatiladi.

c) ikkita nuqta orasiga tortilgan og‘ir ipning muvozanati haqidagi masala

(ustunlarga tortilgan elektr simlari, osma ko‘pirik arqonlari va boshqalar) bu holda
masalaga mos funksionalning ekstremali zanjir chiziqdan iborat bo‘lar ekan.

Bundan tashqari mexanika va matematik fizikaning ko‘pgina tenglamalari

Ostragradskiy-Gamilton prinsipiga asosan biror funksionalning ekstremumini
topish yordamida keltirib chiqariladi. Masalan, shu metod bilan tor tebranishi,
membrana, elastik sterjen, lonjeronga biriktirilgan samolyot qanoti tebranishi
tenglamalarini va boshqa tenglamalarni keltirib chiqarish mumkin.

Shuni ta’kidlash kerakki, variatsion hisobning bevosita metodlari ham

mavjud. Ularning mohiyati funksional ekstremumini topish funksional
ekstremumini aniqlaydigan differensial tenglamaga keltirilmaydi. Bunda
izlanayotgan funksiyaga ketma-ket yaqinlashish metodidan foydalaniladi. Bunday
ketma-ketlikni tuzish qaralayotgan funksional ko‘rinishiga bog‘liq bo‘ladi.
Mashqlar

1. Quyidagi funksionallarni differensiallanuvchanlikka tekshiring.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

a)

C
[a,b] fazoda;

( )
( )
F y
y a
=
b)
2
( )
( )
F y
y a
=

C
[a,b] fazoda;

c)
( )
( )
F y
y a
=

C
[a,b] fazoda.

2. Agar F(y) differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda F
2
(y)
ham
differensiallanuvchi bo‘lishini isbotlang. F
2
(y)
variatsiyasini toping.
3. Aynan noldan farqli bo‘lgan chiziqli funksional ekstremumga ega
emasligini isbotlang.
4. Quyidagi funksionallar uchun ekstremallarni toping va ekstremal masalasi
yechimi mavjudligi shartini tekshiring:
a)
1
2
1
(1
)
,
( 1)
(1)
0
y
y dx
y
y
b
−
+
− =
=
∫
>
b)
2
2
1
,
( )
,
( )
b
a
y
dx
y a
A y b
B
y
+
=
=
∫
.
5. Quyidagi funksionallar uchun ekstremal masalalarni tahlil qiling:
a)
1
0
,
(0)
0,
(1)
y dx
y
y
′
1
=
=
∫
;
b)
1
0
,
(0)
0,
(1)
yy dx
y
y
′
1
=
=
∫
;
c)
1
0
,
(0)
0,
(1)
xyy dx
y
y
′
1
=
=
∫
.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---