Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

8-teorema. Agar P proektor bo‘lsa, u holda I–P ham proektor bo‘ladi.
Isboti.  Haqiqatan,
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(I – P)

2
= I – 2P + P
2
= I – P va (I – P)* = I* – P* = I – P.
Demak, I – P - proektor.
9-teorema. Agar ikkita P va Q proektorlar berilgan bo‘lsa, u holda 
ularniing ko‘paytmasi ham proektor bo‘lishi uchun PQ=QP (*) tenglikning 
bajarilishi zarur va yetarlidir.
Agar P proektor H ni L
′
qism fazoga, Q proektor H ni L
′′
qism fazoga 
proeksiyalasa, u holda (*) shart bajarilganda 
R = PQ (**) proektor H ni L
′

va L
′′
qism fazolarning kesishmasi L = L
L
′′
ga proeksiyalaydi.
′
∩
Isboti. Agar PQ proektor bo‘lsa, Q = (PQ)* = Q*P* = QP, ya’ni (*)
o‘rinli. Endi (**) shartni tekshiramiz. Ushbu Rx=P(Qx)
∈
L
′, Rx=Q(Px)
∈
L
′′
munosabatlardan Rx
∈
L
′ L′′ kelib chiqadi. Demak, L qism fazo L′ va L′′ larning
kesishmasiga qism ekan.
∩

Ikkinchi tomondan, agar x

∈L
′
∩
L
′′
, bo‘lsa, u holda Rx=P(Qx)=x, ya’ni,
L
′
∩
L
′′ kesishma L ning qismi. Bu ikki xulosadan L=L′ L′′ kelib chiqadi.
∩

Endi aytalik (*) o‘rinli bo‘lsin. U holda

(PQ)
2
= (PQ)(PQ) = P
2
Q
2
= PQ va (PQ)* = Q*P* = QP = PQ.
Shunday qilib, PQ proektor ekan. Yuqorida ko‘rganimizdek, bundan PQ=R
tenglik kelib chiqadi.

10- teorema. Chekli sondagi P, Q, . . . , S proektorlarning yig‘indisi 
proektor bo‘lishi uchun, ularga mos L
′
, L
′′
, . . . , L
′′′
qism fazolarning ixtiyoriy 
ikkitasi o‘zaro ortogonal bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Bu shart bajarilganda, P + Q + . . . + S = R bo‘lib, bu yerda R ga mos L
qism fazo L = L
′ + L′′ + . . . + L′′′ to‘g‘ri yig‘indiga teng.

Isboti. Aytaylik L
′, L′′, . . . , L′′′ qism fazolarning ixtiyoriy ikkitasi o‘zaro
ortogonal bo‘lsin. U holda yuqoridagi teoremaga asosan

PQ = QP = PS = SP =. . . = 0.
Demak, (P + Q + . . . + S)
2
= P
2
+ Q
2
+ . . . + S
2
= P + Q + . . . + S. Shuningdek,
(P + Q + . . . +S)* = P + Q + . . . + S. Shunday qilib, P+Q +. . . + S – proektor
ekan.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Endi P + Q + . . . + S = R tenglik yuqoridagidek tekshiriladi.

11-teorema. P va Q proektorlarning ayirmasi proektor bo‘lishi uchun L
′

fazoning L
′′
fazoga qism bo‘lishi zarur va yetarlidir. Bu shart bajarilganda Q – P
= R bo‘ladi.
Bu yerda R ga mos qism fazo L=L
′
–L
′′
bo‘ladi. Ravshanki, L qism fazo L
′
ning L
′′ gacha ortogonal to‘ldiruvchisidan iborat.

Bu teoremaning isboti yuqoridagi teoremalarning isboti kabi bo‘ladi.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Foydalanillgan adabiyotlar

1. Саримсоқов Т.А. Функционал анализ курси, Т.:Ўқитувчи,-1986. 400б.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука, 1989.-624с.
3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. Наука,
1977. 622 с.
4. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М. ИЛ.
1962.
5. Саримсоқов Т.А., Аюпов Ш.А., Хожиев Ж.Х., Чилин В.И.
Упорядоченные алгебры. Тошкент, Фан,1983.
6. Диксмье Ж. С* - алгебры и их представления. М. Наука. 1974.
7. Брателли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая
статистическая механика. М. Мир.1982.
8. Аюпов Ш.А. Классификация и представление упорядоченных
йордановых алгебр. Ташкент. Фан. 1986.
9. Жевлаков К.А. и др. Кольца близкие к ассоциативным. М. Наука. 1978.
10. Саримсоқов Т.А. Полуполя и теория вероятностей. Ташкент. Фан.
1978.
11. Эмх Ж. Алгебраические матоды статистической механики и квантовой
теории поля. М. Мир. 1976.
12. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. М.,
Просвещение, 1968.-308 с.
13. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Сборник задач по курсу
функционального анализа. М.:Наука.1979.
14. Аюпов Ш.А., Бердиқулов М.А., Турғунбаев Р.М. Функциялар
назарияси. Т.2004 й.-146 б.
15. Алимов А.А., Бердикулов М.А. Решение задач по функциональному
анализу. Т. 2005.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

16. Ғаймназаров Г., Ғаймназаров О.Г. Функционал анализ курсидан

масалалар ечиш. Т.: “Фан ва технология”, 2006.-114б.
17. Садовничий В.А. Теория операторов. М.:Дрофа. 2004,-382с.
18. Городецкий В.В. и др. Методы решения задач по функциональному
анализу. Киев. 1990.-479с.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

MUNDARIJA

Kirish
3