Uchburchaklardagi metrik munosabatlar

Теорема. (Птоломей) Айланага ички чизилган тўртбурчакнинг диагоналлари кўпайтмаси унинг қарама-қарши томонлари кўпайтмалари йиғиндисига тенг.
я ъни
Исботи: АС диагоналда ABM=CBD шартни қаноатлантирадиган М нуқта оламиз. CDB= MAB ўринли чунки, улар битта ёйга тиралиб турибди. Булардан DBC учбурчак ABM учбурчакка ўхшаш. яъни ABCD=АМBD (1).
Ясашлардан ABD =MBC эканлигидан BCM =ADB ни ҳам ёзиш мумкин. Демак,  ABD ~ МВС.
Бундан, яъни, ADВС = BDСМ (2).
(1) ва (2) ларни ҳадма-ҳад қўшсак, ABCD+ADВС= BD(AM + CM)=BDАC га эга бўламиз. Теорема исбот бўлди.

Мисол. Птоломей теоремасидан фойдаланиб Пифагор теоремасини исботлайлик.
И сботи. ABC учбурчакни ADBC тўғри тўртбурчаккача тўлдирайлик. Маълумки, тўғри тўртбурчакнинг барча ички бурчаклари 90⁰ дан, шунинг учун унга ташқи айлана чизиш мумкин. Птоломей теоремасига кўра,
АС · BD + AD ·BC = AB · CD. Тўғри тўртбурчакнинг AB = CD, AD = BC ва AC =BD хоссаси мавжуд. Шунинг учун ҳам AC² + BC² = AB² . Демак, теорема исбот бўлди.
Птоломей теоремасидан фойдаланиб косинуслар теоремасини исботлаймиз.
Исботи.
ΔАВС учбурчакка ташқи айлана чизамиз ва АD ВС бўладиган АD ни чизамиз. АВСD тенг ёнли трапеция ҳосил бўлади. ВD=АС=b ва CD=АВ=с; белгилашларни киритамиз. Трапециянинг АΝ ва DК баландликларини туширсак, бўлади. Бундан ни топиш мумкин. АВСD трапеция учун Птоломей теоремасидан фойдалансак, бўлар экан. Демак, кутилмаганда исботланди.
Umuman olganda 2ta natijani keltirish mumkin.
1-natija. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning yuzi

formula bo‘yicha hisoblanadi.
2- n a t i j a. Aylanaga tashqi chizilgan to‘rtburchakning yuzi

formula bo‘yicha hisoblanadi.