Uchburchaklardagi metrik munosabatlar

Styuart, Ptolemey teoremalari. Ko`pburchaklarga ichki aylana chizish shartlari. Ko`pburchakka doir masalalar.
Uchburchaklardagi metrik munosabatlar
1-teorema. Ixtiyoriy uchburchak ikki tomoni kvadratlari ayirmasi bu tomonlarning uchburchakning uchunchi tomoniga mos proyeksiyalari kvadratlari ayirmasiga teng.
I sboti. ABC ning B uchidan to’g’ri chiziq o’tkazamiz. AB tomonning proyeksiyasi AD kesmadan, BC tomonning proyeksiyasi AC tomonga proyeksiyasi DC kesmadan iborat. Demak, bo’lishini isbotlash kerak bo’ladi. Balandlik o’tkazish natijasida hosil bo’lgan to’g’ri burchakli ABD va DBC uchburchklarni qaraymiz. Pifagor teoremasiga asosan

munosabatlarni olamiz. Ikkinchisidan birinchisini ayirib ni hosil qilamiz. Teorema isbot bo’ldi.

2-teorema. (Styuart). Agar ABC uchburchakning BC tomonida ichki D nuqta olingan bo’lsa,

tenglik bajariladi.
I sboti. ABC ning A uchidan to’g’i chiziq o’tkazamiz.
K nuqtadan D va C nuqtalar orasida yotadi, deb faraz qilamiz. Ikkita to’g’ri burchakli AKC va ADK uchburchaklarni qaraymiz. Pifagor teoremasiga ko’ra AKC uchburchakdan ; ADK uchburchakdan munosabatlarni olamiz. yoki

bo’ladi.
T o’g’ri burchakli ABK uchburchak va ADK uchburchakdan
va munosabatlarni olamiz. Ulardan bo’lishi kelib chiqadi. ekanligini hisobga olsak, bo’ladi. Endi uchun hosil qilingan ifodani ga, uchun olingan ifodani ga ko’paytirib, hosil qilingan ifodalarni qo’shamiz:
ya’ni bundan talab qilingan
tenglik olinadi.

Stuart teoremasidan foydalanib, uchburchak medianasi, balandligi, bissektrisasi uzunliklarini hisoblaymiz.

STYUART TEOREMASINING BA’ZI TATBIQLARI :

1. 
   Styuart teoremasidan foydalanib ABC uchburchakning AD
   

medianasini uzunligini topamiz.
BC=a, AC=b, AB=с va D nuqta BC tomonning o’rtasi,




yoki (2)

2. Styuart teoremasidan foydalanib medianalari bilan berilgan ABС uchburchakning tomonlarini toping.
BC=a, AC=b, AB=c
O- medianalar kesishgan nuqta
∆AOC uchun Styuart teoremasini qo’llaymiz



(3)
Xuddi shu kabi: ,


3. Uchburchakning ikkita tomoni va , uchinchi tomondan bissektrisa ajratgan kesmalar va bo’lsa, shu bissektrisani toping.
va
Bissektrisa xossasiga ko’ra:
Styuart teoremasidan

=>

6. Uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi bilan uchburchak og‘irlik markazi orasidagi masofa topilsin.

A BC uchburchak BC tomonining o‘rta nuqtasi D va izlanayotgan masofa OG bo‘lsin. OBD uchburchakdan : va AD=m_a , Styuart teoremasini tatbiq etib, formuladan foydalansak,


yoki

bundan: