U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

         Teorema: Haqiqiy 
  va   sonlar hamda   natural son uchun: 
       
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
   
         
 
 
 
   
 
 
                      
  
 
 
 
 
  ∑  
 
 
 
   
 
   
 
 
                                          
 yoki 
       
 
  ∑     
 
 
 
 
 
   
 
   
 
 
                             
formulalar o„rinli. 
(1) va (2) formulalar Nyuton binom formulasi deb ataladi.    
         Isboti:  Matematik  induksiya  usulidan  foydalanib,  formulalarni  
isbotlashimiz mumkin. 
         Induksiya  bazasi: 
       uchun         
 
           formula 
to„g„ri.  
         Induksion  o‘tish: 
       uchun  formula  to„g„ri  deb  hisoblab, 
          uchun to„g„ri ekanligini ko„rsatamiz. Buning uchun      
 
 
 
   
 
   
   
   
   
 
formulani e‟tiborga olib, quyidagilarni hosil qilamiz: 
       
   
                
 
           
 
   
 
 
 
   
       
  
 
        
   
   
 
 
 
 
         
   
        
   
   
  ( 
 
 
   
 
 
) 
 
         
   
  
Agar 
  ni    deb olsak, (2) formulaning to„g„ri ekanligi kelib chiqadi.  
         Bu  yerda 
 
 
 
  sonlar  binomial  koeffitsiyentlar  hisoblanib,  uning 
qiymatlaridan binom formulasining quyidagi xossalari kelib chiqadi.