U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

Binom formulasining xossalari: 
1. 
  sonining  daraja  ko„rsatkichi  kamayib  boradi,     sonining  daraja 
ko„rsatkichi esa ortib boradi. Ularning daraja ko„rsatkichlari yig„indisi 
   
songa teng. 
2. Binomial yoyilma 
       ta haddan iborat. 
3. Binomial  koeffitsiyentlar  yig„indisi 
 
 
 ga teng.  Agar 
          deb 
olinsa,   
 
 
 
   
 
 
   
 
 
       
 
 
         
 
   
 
 
tenglik  kelib chiqadi.  
4. Yoyilmaning istalgan hadi 
 
   
   
 
 
 
   
 
 
  ifodadan iborat. 

---

 
43 
5.  Yoyilmaning  chetlaridan  teng  uzoqlikda  turgan  hadlarining  koeffit-
siyentlari  o„zaro  teng.  Chunki  bu  koeffitsiyentlar  Paskal  uchburchagini 
ifodalaydi. 
6. Toq o„rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig„indisi juft o„rinda 
turgan  binomial  koeffitsiyentlar  yig„indisiga  teng.  Agar 
         va 
       deb olinsa,   
 
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
          
 
 
 
 
       
 
 
         
 
    
tenglik  kelib chiqadi. 
7. 
 
 
   
 
   
   
 
 
 
                          tenglik o„rinli. Chunki,  
 
 
   
 
 
 
 
  
                       
  
             
 
             
                       
  
 
 
                           
                           
 
     
     
  
8.  
  natural sondan oshmaydigan eng katta   toq son uchun    
 
 
 
   
 
 
       
 
 
   
   
 
tenglik hamda 
  natural sondan oshmaydigan eng katta   juft son uchun  
 
 
 
   
 
 
       
 
 
   
   
 
tenglik o„rinli.  
9. Toq 
  son uchun  
 
 
 
   
 
 
   
 
 
       
 
   
 
   
 
   
 
  
  
 va 
 
 
   
    
   
 
   
    
       
 
 
  
juft 
  son uchun 
 
 
 
   
 
 
       
 
 
 
 
va 
 
 
 
 
   
 
 
   
       
 
 
 
munosabatlar o„rinli.  
Agar 
  toq son bo„lsa,    
   
 
  butun son bo„lib,   
 
 
   
 
     
     
 
 
 
 
   
     
 
     
     
 
 
 
 
     
 
     
 
 
 
 
   
 
 
 

---

 
44 
o„rinli.  Demak, 
   toq  son  bo„lsa,  binomial  koeffitsiyentlar  qatorining 
ikkita hadi tengligi kelib chiqadi: 
 
 
   
 
   
 
   
 
  
 . 
10. Agar 
  juft son bo„lsa, binom yoyilmaning o„rta hadi        
 
       
 
   
 
 
 
   
 
 
 
ifodadan iborat bo„lib, u eng katta va yagonadir, agar 
  toq son bo„lsa, 
o„rta had mavjud emas. Faqat yoyilmaning o„rtasidagi ikkita had teng.  
11. 
 
 
 
   
   
 
   
   
 
       
   
 
   
     
   
   
12. 
  
 
 
 
 
    
 
 
 
 
        
 
 
 
 
   
  
 
 
13. 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
       
 
 
 
 
 
   
   
 
 
         1- misol. 
(
 
√ 
   
 
 
)
  
  binom yoyilmaning o„rta hadini toping.  
         Yechish:
 (
 
√ 
   
 
 
)
  
   
  
 
(
 
√ 
)
  
   
  
 
(
 
√ 
)
  
 
 
 
     
 
  
  
( 
 
 
)
  
 yoyilmada 19 ta had bor. O„rta had o„ninchi had bo„lib,   
 
        
 
   
   
   
  
 
(
 
√ 
)
 
( 
 
 
)
 
   
 
        
 
 
 
qiymatga teng. 
2-misol. 
(√ 
 
 
 
√ 
 
)
 
  binom  yoyilmaning  boshidan  to„qqizinchi 
hadini shu yoyilmaning oxiridan to„qqizinchi hadiga nisbati   
 
  
  songa 
teng. 
   no„malumni toping.  
Yechish: Berilgan ifodani binomi formulasi yordamida yozamiz.  
(√ 
 
 
 
√ 
 
)
 
    
 
 
(√ 
 
)
 
   
 
 
(√ 
 
)
   
(
 
√ 
 
)       
  
 
 
(√ 
 
)
   
(
 
√ 
 
)
 
   
 
   
(√ 
 
)
 
(
 
√ 
 
)
   
       
 
 
(
 
√ 
 
)
 
 
yoyilmani boshidan to„qqizinchi hadi 
 
 
 
(√ 
 
)
   
(
 
√ 
 
)
 
 ifodaga, oxiridan 
to„qqizinchi  hadi  esa 
 
 
   
(√ 
 
)
 
(
 
√ 
 
)
   
  ifodaga  teng. 
 
 
 
   
 
   
  
tenglik  o„rinli  bo„lgani  uchun, 
 
 
 
   
 
   
  tenglik  kelib  chiqadi.  Shartga 
ko„ra, 

---

 
45 
 
 
 
( 
 
 
)
   
( 
  
 
)
 
 
 
   
( 
 
 
)
 
( 
  
 
)
   
 
 
  
 
qiymatga teng. U holda bu ifodani soddalashtirib ushbu 
( 
 
 
)
     
  ( 
  
 
)
       
 
 
  
 
tenglamani yechamiz.  
 
         
( 
 
 
)
    
  ( 
  
 
)
    
 
 
  
,    
 
    
 
   
    
 
 
 
  
 ,    
        
3-misol. 
(√ 
   
   
 
 
)
 
  binom  yoyilmasi  beshinchi  hadining  bi-
nomial koeffitsiyentini uch marta orttirilgani, ikki asosga ko„ra logarifmi 
bilan  uchinchi  hadi  binomial  koeffitsiyenti  ikki  asosga  ko„ra  logarifmi 
orasidagi  ayirma 
   
 
       ga  tengligi  ma‟lum  bo„lsa,     o„zgaruv-
chining  qanday    qiymatida  uchinchi  hadni 
√     marta  orttirilgani  bilan 
to„rtinchi    hadi  nisbati 1 ga teng bo„ladi.  
Yechish: Masala shartiga ko„ra,  
   
 
   
 
 
       
 
 
 
 
     
 
   
 , 
u holda 
   
 
  
 
 
 
 
 
     
 
 
 
 ,      
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ifodani hisoblaymiz, natijada 
   
           
 
           
  
 
 
 
 
tenglama hosil bo„ladi, uni soddalashtirib,      
   
           
 
                         
  
 
 
 
  
              
 
 
 
 
 
ifodani  keltirib  chiqaramiz  va 
 
 
         tenglamani yechamiz, un-
dan 
              qiymatlar  topiladi.  Binom  ko„rsatkich         
bo„lishi mumkin emas. Agar ko„rsatkich   
      bo„lsa, 
√  
 
 
(√ 
   
)
 
 
 
   
 
 
 
(√ 
   
)
 
 
 
   
    
tenglama hosil bo„ladi. Bu tenglamani yechamiz. Ifodaning surati    
√  
 
 
(√ 
   
)
 
 
 
 
  
    √     
       
 
   
 
, 

---

 
46 
maxraji esa 
 
 
 
(√ 
   
)
 
 
 
   
        
   
   
  
 
 
ko„rinishga ega. Ularning nisbatini hisoblaymiz, natijada ushbu 
√     
      
 
      
   
    
 
    
tenglama hosil bo„ladi. Bu tenglamani yechamiz:  
(
 
 
)
 
 
  (
 
 
)
 
 
 ,   
       
 
Nazorat savollari 
 
1. Kombinatorikada nimalar o„rganiladi? 
2.  Kombinatorika  matematikaning  alohida  yo„nalishi  sifatida  qachon 
shakllandi? 
3. Kombinatorika iborasi qachon, kim tomonidan kiritilgan? 
4. Kombinatsiya deganda nimani tushunasiz? 
5.  Kombinatsiyani  tashkil  qilgan  elementlarning  o„rni  almashtirilsa, 
uning xususiyati o„zgaradimi?  
6. To„plamning qism to„plamlari soni qanday topiladi? 
7. Dekart ko„paytma deganda nimani tushunasiz? 
8. Dekart ko„paytmadagi birlashmalar soni qanday topiladi? 
9. Qo„shish va ko„paytirish qoidasi qanday ifodalanadi? 
10. Umumlashgan qo„shish va ko„paytirish qoidasini ayting. 
11. Asosiy kombinatsiyalarga nimalar kiradi? 
12. O„rin almatirishlar soni qanday hisoblanadi? 
13. O„rin almashtirishlar formulasini tushuntiring. 
14. O„rinlashtirishlar soni qanday hisoblanadi? 
15. O„rinlashtirishlar formulasini tushuntiring. 
16. O„rin almashtirish va o„rinlashtirishlar orasidagi farqni ayting. 
17. Guruhlash tushunchasini ayting. 
18. Guruhlash formulasini keltirib chiqaring. 
19.  O„rinlashtirish,  o„rin  almashtirish  va  guruhlashlar  orasidagi  farqni 
tushuntiring. 
20. Guruhlashning qanday xossalari mavjud? 
21. Paskal uchburchagi haqida ma‟lumot bering. 
22. Paskal uchburchagining xossalarini ayting. 
23.  Paskal  uchburchagi  va  qisqa  ko„paytirish  formulalari  orasidagi 
bog„lanishni tushuntiring. 

---

 
47 
24.  Arifmetik  uchburchak  va  binomial  koeffitsiyentlar  orasida  qanday 
bog„lanish mavjud? 
25. Nyuton binomi formulasini ayting. 
26. Binom koeffitsiyentlarining xossalarini ayting. 
27. Binom koeffitsiyentlar guruhlashlar soni bo„la oladimi? 
28. Binom formulasidan Nyutondan avval kimlar foydalangan?   
29. Kombinatorik tuzilmalar haqida ma‟lumot bering. 
 
2-§.Kombinatorikaning asosiy qoidalari, takrorsiz birlashmalarga 
doir misollar 
 
 2.1. Kombinatorikaning asosiy qoidalariga doir misollar 
 
1-misol.    201-guruh  o„quvchilaridan  Valida  10  ta,  Alida  12  ta  va 
Halimda 15 ta turli xildagi kitoblar bor.  
a) bitta kitobni tanlash;  
b) ikkita turli kitobni barcha o„quvchilardan tanlash;  
с)  uchta  turli  kitobni  barcha  o„quvchilardan  tanlash  imkoniyatlari 
soni qancha?  
Yechish: Validagi kitoblarni 
      
 
   
 
       
  
   to„plam, Alidagi 
kitoblarni 
      
 
   
 
       
  
   to„plam,  Halimdagi  kitoblarni     
  
 
   
 
       
  
   to„plam    deb  belgilaymiz.  Shartga  ko„ra,  kitoblar  soni 
| |       | |       | |      qiymatga teng. 
a)  tanlanishi  kerak  bo„lgan  bitta  kitob 
      
 
   
 
       
  
 , 
      
 
   
 
       
  
  
yoki 
      
 
   
 
       
  
  
to„plamning 
elementlaridan  biri  bo„lishi  mumkin.  Tanlanishi  kerak  bo„lgan  kitoblar 
to„plami, 
bu 
to„plamlarning 
birlashmasidan 
iborat. 
Demak, 
umumlashgan qo„shish qoidasiga ko„ra, bizda     
|         |   | |   | |   | |                     
ta imkoniyat mavjud. 
b)  tanlanishi  kerak  bo„lgan  kitoblar  juftligi   
      kombinatsiyani 
tashkil qilsin. Bu juftlikni 
      
 
   
 
       
  
    va       
 
   
 
       
  
  
to„plamdan 
yoki 
      
 
   
 
       
  
     va        
 
   
 
       
  
  
to„plamdan 
yoki 
      
 
   
 
       
  
  
va 
      
 
   
 
       
  
  
to„plamning  elementlari  ichidan  tanlaymiz.  Ularning  soni  ko„paytirish 
qoidasiga ko„ra, 
| |   | |                ,  | |   | |                
 
va 
| |   | |                 

---

 
48 
ga  teng.  Demak,  umumlashgan  qo„shish  qoidasiga  ko„ra,  tanlanishi 
kerak bo„lgan juftliklarning umumiy soni   
| |   | |   | |   | |   | |   | |                         
ta ekan. 
d) tanlanishi kerak bo„lgan kitoblar juftligi  
         kombinatsiya-
ni  tashkil  qilsin.  Umumlashgan  ko„paytirish  qoidasidan  foydalamiz. 
Uchta 
kitobni 
turli 
o„quvchilardan 
tanlash 
imkoniyati                            
      
 
   
 
       
  
  ,        
 
   
 
       
  
   va        
 
   
 
       
  
  
to„plamning  ixtiyoriy  elementlarini  tanlash  imkoniyatlari  soni  ko„payt-
masiga  teng.  Demak,  to„plamlarda  |
 |       | |       | |      ta 
imkoniyat mavjudligi uchun,  
         juftlikni 
| |   | |   | |                       
ta imkoniyat bilan tanlash mumkin. 
 
Misollar 
 
1. 
            va              to„plamlar  berilgan  bo„lsin.  U  holda         
         juftliklar sonini toping. 
J: 
       ta. 
2.  Anvar  10  ta  daftar  va  15  ta  qalam  ichidan    daftar  yoki  qalamlardan  
birini oldi. Nargiza esa 1 ta qalam va  1 ta daftar oldi. Anvarning tanlash 
imkoniyati Nargizaning imkoniyatidan katta bo„lishi mumkinmi?  
          J: Mumkin emas. Anvarda 25 ta, Nargizada 150 ta imkoniyat bor. 
3.  Savatlarni  birida  10  dona  olma,  ikkinchisida  esa  bir  necha  dona 
shaftoli  bor.  Aziz  mevalarni  biridan  olishi  mumkin.  U    bu  ishni  21  ta 
usulda bajaradi. Ikkinchi savatda necha dona    shaftoli bor?    
                                        J: 11 ta. 
4.  0,1…9  raqamlari  va  A,B,C  harflari  yordamida  nechta  mashinani  
nomerlash mumkin (nomer ikkita harf va 4 ta raqamdan  iborat)? 
   J:  90000 dona. 
5.  «Matematika»  so„zidan  oldin  2  ta  unli,  keyin  3  ta  undosh  harf 
keladigan    qilib  nechta  so„z  yasash  mumkin  (so„z  deganda  ixtiyoriy 
harflar ketma-ketligi tushuniladi)? 
 J:  243 
6.  Agar  A  va  B  shaharlarni  5  ta  yo„l  va  B  va  D  shaharlarni  7  ta  yo„l 
bog„lasa, u holda A shahardan D shaharga B shahar orqali borish imko-
niyatlari qancha?  
  J:35 ta.  

---

 
49 
7. Ikkita ketma-ket raqami har xil bo„lgan nechta olti xonali sonlar mav-
jud?     
J: 
 
 
 ta. 
8.  1,2,3,4  raqamlaridan  ularning  har  birini  bir  martadan  ortiq  ishlat-
masdan nechta uch xonali sonlar tuzish mumkin?  
J: 24 ta. 
9.  O„qituvchi  matematikadan  yozma  ishning  bitta  variantini  tuzish 
uchun  geometriyadan  4  ta,  algebradan  8  ta  va  trigonometriyadan  3  ta 
masalani  tanlab  oldi.  Agar  bitta  varintga  sanab  o„tilgan  bo„limlardan 
bittadan masala kirishi lozim bo„sa, bu variantni necha usul bilan tuzish 
mumkin? 
J: 96 ta.     
10.  Yugurish  musobaqasida  5  ta  sportchi  ishtirok  etmoqda.  Yugurish 
natijalariga ko„ra o„rinlar necha usul bilan taqsimlanishi mumkin?  
J: 120. 
11.  20  sahifali  kitobning  biror  uchta  sahifasiga  bittadan  rasm 
joylashtirilishi kerak. Buni necha usul bilan bajarish mumkin? 
J: 
             
12.  Yangi  uyga  ko„chib  o„tgan  oila  yozuv  stoli,  kitob  javoni  va  divan 
sotib olmoqchi. Mebel do„konida 6 ta yozuv stoli, 4 ta kitob javoni va 12 
ta  divan  bor.  Undan  tashqari,  yozuv  stoli  va  divandan  iborat  2  ta  
garnitura, kitob javoni va yozuv stolidan iborat 8 ta garnitura bor. Harid 
necha usul bilan qilinishi mumkin? 
J: 
                            ta. 
13.  Har  birining  o„nliklari  soni  beshdan  ormaydigan,  birliklari  soni 
oltidan  to„qqizgacha  oraliqda  bo„ladigan  uchta  uch  xonali  sonni  nechta 
usul bilan tuzish mumkin?  
J: 180 ta.                     
 
 2.2. O‘rinlashtirishlarga doir misollar  
 
1-misol.  6  ta  turli  raqamlar  bilan  nomerlangan  nechta  telefon 
nomeri mavjud? 
 
Yechish. Bunday nomerlar 10 ta {
                   } raqamlardan 
6  tadan  olib  tuzilgan  o„rinlashtirishlar  soniga  teng.  Demak,  telefon 
nomerlari soni:  
 
  
 
                                   ta. 
 
 

---

 
50 
Misollar 
 
1.  Har  xil  raqamli  4  raqami  qatnashmagan  besh  xonali  sonlar  soni 
nechta?  
  J: 
                  
2.  A,B,D,E,F,G  elementlardan  harflari  takrorlanmaydigan  qilib  nechta  
to„rtta harfli so„z tuzish mumkin? 
J: 
               
3. {
          } to„plamning barcha qism to„plamlari sonini toping.  
J: 16 ta. 
4.  Bir  guruhda  17  ta  talaba,  ikkinchi  guruhda    20  ta  talaba  o„qiydi.    
Birinchi  guruhdan  4  ta,  ikkinchi  guruhdan  5  ta  talaba  bo„lgan  kichik 
guruhlardagi  o„quvchilarni  9  ta  partaga  necha  xil  usulda  joylashtirish 
mumkin?        
 J:
 
  
 
   
  
 
  
 
 2.3.  O‘rin almashtirishga doir misollar 
 
1-misol.  A,B,D,E,F  harflardan  ma‟noga  ega  bo„lmaganlik  shartini 
ham e‟tiborga olib, beshta harfdan iborat nechta so„z tuzish mumkin? 
 
Yechish: Masala shartiga ko„ra tuzilayotgan so„zlarning ma‟nosiga 
e‟tibor bermay, A,B,D,E,F harfdan iborat uzunligi beshga teng bo„lgan 
kombinatsiyalar  sonini  topamiz.  A,B,C,D,E  harflar  soni  va  tuzilishi 
kerak  bo„lgan  kombinatsiyalar  uzunligi  tengligi  sababli, 
 
 
      o„rin 
almashtirishlar  formulasidan  foydalanamiz.  Demak,
       uchun, ya‟ni 
5  ta  elementdan  5  talik  juftliklar  (kombinatsiyalar)  soni 
 
 
           
ta ekan.  
 
Misollar 
 
1.  Yigirma nafar o„quvchidan iborat sinfda o„zaro sovg„a almashtirishlar   
soni  qancha? 
J: 
 
  
        
2.  Mehnat  so„zidan  6  ta  harfdan  iborat  nechta  har  xil  so„z  tuzish 
mumkin?  
J: 
 
 
       
3.  A,B,D,E,F  harflaridan  A  harfi  B  harfidan  keyin  joylashadigan  qilib 
o„rin almashtirishlar soni  qancha? 
J: 
 
 
             

---

 
51 
4.  A,B,D,E,F  harflaridan  A  harfi  B  harfidan  keyin,  D  harfi  F  harfidan 
keyin  joylashadigan qilib o„rin almashtirishlar soni qancha? 
J: 
 
 
            
5.  Kitob  tokchasidagi  10  ta  matematika  va  8  ta  fizika  kitoblarining 
o„zaro  o„rin  almashtirishlari  soni  qancha?  (Matematika  va  fizika 
kitoblari  o„zaro  aralashib  ketishi  mumkin  emas).  Ularni  o„zaro 
aralashtirmasdan nechta o„rin almashtirish bajarish mumkin?  
J: 
 
  
   
 
             
6.  Har  bir  raqam  bir  marta  uchraydi  degan  shartda  1,2,3,4,5,6 
raqamlaridan  birinchi  raqami  2  ga  va  oxirgi  raqami  5  ga  teng  bo„lgan 
nechta olti xonali son tuzish mumkin? 
J:
 
 
      
 
  2.4. Guruhlashlarga (gruppalashlar) doir misollar 
 
1-misol. Qavariq to„qqizburchakning diagonallari sonini toping. 
Yechish:  Ma‟lumki,  qavariq  ko„pburchakning  diagonallari  uning 
biror  burchagidan  chiquvchi  va  shu  burchakka  qo„shni  bo„lmagan 
burchaklarni tutashtiruvchi chiziqlardan iborat. Agar  aylanada  yotgan 9 
ta  nuqtani  tutashtirsak,  qavariq  to„qqizburchak  hosil  bo„ladi.  Bu 
nuqtalardan o„tuvchi barcha vatarlar sonidan ko„pburchakni tomonlarini 
hosil  qiluvchi  vatarlar  sonini  ayirib  tashlasak,  qavariq  ko„pburchakning 
diagonallari soni hosil bo„ladi. Umumiy vatarlar soni 9 ta elementdan 2 
tadan  tuzilgan  guruhlashlar  (kombinatsiyalar)  soniga  teng.  Bu  vatarlar 
bir-biridan  hech  bo„lmaganda  bitta  nuqtasi  bilan  farq  qiladi.  Shartga 
ko„ra,  
             uchun  
 
 
 
 
  
             
     
ta umumiy vatar mavjud. Qavariq to„qqizburchakning tomonlarini hosil 
qiluvchi vatarlar 9 ta bo„lgani uchun diagonallar soni  36-9

27  ta ekan. 
 
Misollar 
 
1.  Yigirma  kishidan  iborat  guruhdan  3  kishini  shaxmat  musobaqasiga  
necha xil   usulda tanlab olish mumkin? 
J: 
 
  
 
 
   
      
        
2. 
    {         } to„plamning barcha qism to„plamlari sonini toping. 
    J: 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
         

---

 
52 
3. 
   ta  elementdan  2  tadan  olib  tuzilgan  guruhlashlar  soni         ta 
elementdan  4  tadan  olib  tuzilgan  guruhlashlar  sonidan  3  marta  ko„p 
bo„lsa, 
   sonni toping.    
J:
          
4. Aylanada yotgan 7 ta nuqtadan nechta vatar o„tkazish mumkin? 
 J: 21  
5. 
 
   
 
   
 
 
     tenglamani yeching .  
J: 
      
6. 
     
 
 
   
   
 
 tengsizlikni yeching .   
  J: 
          
7.  Do„konda  20  turdagi  O„zbekistonda  ishlab  chiqarilgan  mahsulot,  32 
turdagi  Rossiyada  ishlab  chiqarilgan,  15  turdagi  Yevropada  ishlab 
chiqarilgan    mahsulotlar  bor.  Xaridor  5  turdagi  O„zbeksitonda  ishlab 
chiqarilgan,  12  turdagi  Yevropada  ishlab  chiqarilgan,  17  turdagi 
Rossiyada  ishlab  chiqarilgan  mahsulotlarni  sotib  olmoqchi.  Uning 
imkoniyatlari soni qancha?     
J: 
 
  
 
   
  
  
   
  
  
     
8. O„n kishidan to„rt kishilik a‟zoni necha usul bilan saylash mumkin? 
J: 210  
9.  Hech  bir  uchtasi  bir  to„g„ri  chiziqda  yotmaydigan  8  ta  nuqtadan 
nechta to„g„ri chiziq o„tkazish mumkin?  
J: 28 ta.   
10. 
  burchakli ko„pburchakning diagonallari soni nechta? 
J:
 
 
 
     
      
 
 
11.  Mergan 
   ta  o„q  uzdi,  shundan    tasi  nishonga  tegdi.  Shu     ta 
nishonga  tegishni 
   ta  o„q  uzish  orasida  necha  usul  bilan  taqsimlash 
mumkin?  
J: 
 
 
 
 
  
         
 
12.  Olti  qavatli  uyning  lifti  10  kishini  birinchi  qavatdan  yuqoriga  olib 
chiqadi. Har bir qavatda tushib qoladigan kishilar soni qavatlar bo„yicha 
necha usul bilan taqsimlananishi mumkin?  
J: 
 
  
 
  
13.  15  kishilik  guruh  6  kishilik  va  9  kishilik  ikkita  guruhga  bo„linadi. 
Buni nechta usul bilan bajarish mumkin?  
J: 
 
  
 
   
  
 
  

---

 
53 
14.  Bir  partiyada  30  ta  detal  bo„lib,  ulardan  8  tasida  nuqson  bor.  Bu