U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

 
2-rasm. 
 
2-misol.  Berilgan  tanlanma  taqsimoti  bo„yicha  chastotalar  va 
nisbiy chastotalar gistogrammasini chizing.  
 
 
 
   
   
 
(-5,-2) 
(-2,1) 
(1,4) 
(4,7) 
(7,10) 
(10,13) 
 
 
 
3 
4 
5 
2 
7 
10 
 
 
 
 
 
 
 
0,1 
0,12 
0,16 
0,06 
0,23 
0,32 
0
 
1
 
2
 
3
 
4
 
5
 
6
 
7
 
8
 
1
 
2
 
3
 
4
 
Chastotalar poligoni
 
i
 
n
 
0 
0,05 
0,1 
0,15 
0,2 
0,25 
0,3 
0,35 
1 
2 
3 
4 
Nisbiy chastotalar poligoni
 

---

 
138 
Yechish:  Bu  yerda 
                                 tanlanma 
hajmi, intervalning uzunligi esa   
 
   
   
 
          
 
 
 
   
   
 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
 
 
 
 
1 
1,3 
1,7 
0,7 
2,3 
3,3 
 
 
 
 
0,03 
0,04 
0,05 
0,02 
0,07 
0,11 
 
Topilgan  qiymatlardan  foydalanib,  chastotalar  va  nisbiy  chastotalar 
gistogrammasini chizamiz:  
 
 
3-rasm. 
 
4-rasm. 
Chastotalar gistogrammasi
 
1
 
1,
1,7
 
0,7
 
2,3
 
3,3
 
0
 
0,5
 
1
 
1,5
 
2
 
2,5
 
3
 
3,5
 
3
 
3
 
3
 
3
 
3
 
3
 
h
 
n
 
i
 
Nisbiy chastotalar gistogrammasi
 
0,03
 
0,04
 
0,05
 
0,02
 
0,07
 
0,11
 
0
 
0,02
 
0,04
 
0,06
 
0,08
 
0,1
 
0,12
 
3
 
3
 
3
 
3
 
3
 
3
 

---

 
139 
2-§.  Matematik statistika elementlariga  doir  misollar  
 
1-misol.  Tanlanma chastotalarining empirik taqsimoti berilgan:  
 
 
 
 
4 
5 
6 
7 
8 
 
 
 
3 
2 
4 
5 
9 
 
Nisbiy chastotalarni toping. 
Yechish: 
     
 
   
 
   
 
   
 
   
 
                          
tanlanma hajmi.   
 
 
 
 
 
 
   formuladan foydalanamiz: 
 
 
 
 
  
    
 
 
 
  
    
 
 
 
  
    
 
 
 
  
    
 
 
 
  
 
Ma‟lumki, nisbiy chastotalar yig„indisi birga teng:   
 
 
   
 
   
 
    
 
    
 
    
2-misol.  Quyidagi empirik taqsimot berilgan:  
 
 
 
 
2 
6 
9 
11 
 
 
 
12 
8 
10 
20 
 
Empirik taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini chizing.  
Yechish:
      
 
   
 
   
 
   
 
                        
tanlanma hajmi. Tanlanmada eng kichik varianta 
 
 
   ,  demak,       
qiymatlar uchun empirik taqsimot funksiya 
0
)
(
*
50

x
F
. 
      tengsizlikni  
qanoatlantiruvchi 
 
 
  variantalar  soni  bitta 
 
 
     bo„lib,    u  12  marta 
kuzatilgan,  demak, 
           qiymatlar  uchun  empirik  taqsimot 
funksiya:  
24
,
0
50
12
)
(
*
50


x
F
.  
       tengsizlikni  qanoatlantiruvchi   
 
  variantalar  soni  ikkita: 
 
 
    
va 
 
 
   ,  ular   
 
   
 
               marta  kuzatilgan,  demak,     
          qiymatlar uchun:  
4
,
0
50
20
)
(
*
50


x
F
.  
        tengsizlikni  qanoatlantiruvchi   
 
  variantalar  soni  esa  uchta: 
 
 
   ,   
 
     va   
 
   ,  ular   
 
   
 
   
 
                   
marta kuzatilgan, demak, 
           qiymatlar uchun: 

---

 
140 
6
,
0
50
30
)
(
*
50


x
F
. 
 
 
 
      eng  katta  varianta  bo„lgani  uchun          qiymatlarda         
F
50
*
  (x)=1  bo„ladi.  Demak,  izlanayotgan  empirik  taqsimot  funksiya 
quyidagicha:  

















bolsa.
11
x
agar
1;
bolsa,
11
x
9
agar
0,6;
bolsa,
9
x
6
agar
0,4;
bolsa,
  
6
x
2
agar
;
24
,
0
bolsa,
 
2
x
agar
;
0
)
(
*
50
x
F
 
Topilgan qiymatlar asosida grafikni yasaymiz: 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                      
1-rasm. 
 
Misollar 
 
1. Quyidagi tanlanma berilgan:   4, 5, 9, 4, 7, 11, 11, 5, 9, 7, 7, 7, 9, 9, 4, 
4,  5,  5,  5,  11,  13.  Bu  tanlanmaning  variatsion  qatori  va  empirik 
taqsimotini toping.  
J: variatsion qator: 4,5,7,9,11,13.  
Empirik taqsimot jadvali:  
 
i
x
  4  5  7  9  11  13  yoki 
i
x
 
4 
5 
7 
9 
11 
13 
i
n
  4  5  4  4  3 
1 
i
w
  0,19  0,24  0,19  0,19  0,14  0,5 
 
2.  Yuqorida  keltirilgan    tanlanma  uchun  empirik  taqsimot  funksiyani 
toping va uning grafigini chizing.  
 
*
50
)
(x
F
 
0 
  5 
  
4 
  
6 
  8 
0,24 
0,4 
0,6 
1 
  
2 
x
 
  
7 
  1 
  
3 
 9  10   11 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 

---

 
141 
J:   
























bolsa.
13
x
agar
1;
bolsa,
13
x
11
agar
0,95;
bolsa,
11
x
9
agar
0,81;
bolsa,
9
x
7
agar
0,62;
bolsa,
7
x
5
agar
0,43;
bolsa,
  
5
x
4
agar
;
19
,
0
bolsa,
 
4
x
agar
;
0
)
(
*
21
x
F
 
 
 
3.  Tavakkaliga  tanlab  olingan  40  o„quvchining  bo„yini  (sm.  larda) 
o„lchash natijalari berilgan: 
 
O„quvchilarning 
bo„yi:                
 
 
 
   
   
 
160-165 
165-170 
170-175 
175-180 
O„quvchilar soni:    
 
 
 
7 
10 
12 
11 
 
Tanlanmaning chastotalar va nisbiy chastotalar gistogrammasini chizing.       
                   J: 
 
 
 13 
*
21
)
(x
F
 
0 
  5 
  
4 
  
6 
  8 
 0,19 
   0,43 
 0,62 
 0,81 
  
2 
x
 
  
7 
  1 
  
3 
  9  10   11   12 
   0,95 
      1 
Chastotalar gistogrammasi
 
1,4
 
2
 
2,4
 
2,2
 
0
 
0,5
 
1
 
1,5
 
2
 
2,5
 
3
 
160-165
 
165-170
 
170-175
 
175-180
 
h 
n 
i
 
1
 

 

 
i
 
i
  X 
X 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 

---

 
142 
 
 
4. Oliy o„quv yurtiga kirish imtihonlarida o„ttizta abituriyent matematika 
fanidan quyidagi ballarni olishdi: 18, 30, 31, 30, 30, 31, 30, 20, 20, 25, 
28, 31, 25, 33, 34, 20, 25, 28, 31, 33, 33, 33, 34, 33, 33, 34, 33, 33, 28, 
25.  Variatsion  qatorni  tuzing.  Chastotalar  va  nisbiy  chastotalar 
poligonini chizing 
J: 18,20,25,28,30,31.33,34. 
 
 
 
 
 
 
 
Nisbiy chastotalar gistogrammasi
 
0,035
 
0,05
 
0,06
 
0,055
 
0
 
0,01
 
0,02
 
0,03
 
0,04
 
0,05
 
0,06
 
0,07
 
160-165
 
165-170
 
170-175
 
175-180
 
h
 
i
 

 
1
 

 

 
i
 
i
  X 
X 
0
 
1
 
2
 
3
 
4
 
5
 
6
 
7
 
8
 
9
 
18
 
20
 
25
 
28
 
30
 
31
 
33
 
34
 
chastotalar poligoni
 
i
 
n
 
i
 
X 
0
 
0,2
 
0,4
 
0,6
 
0,8
 
1
 
1,2
 
1
 
2
 
3
 
4
 
5
 
6
 
7
 
8
 
Nisbiy chastotalar poligoni
 
 
 i 

 
i
 
X
 

---

 
143 
TEST TOPSHIRIQLARI 
 
1.  Bitta  o„yin  kubigi  tashlanadi.  Kubning  tushgan  yoqlaridagi  ochkolar 
juft son bo„lish ehtimolligini toping. 
A) 1/3        B) 3/7           D) 1/6             E) 1/2 
2. Ikkita o„yin kubigi tashlanadi. Kublarning yoqlarida tushgan ochkolar 
yig„indisi 6 ga teng bo„lishi ehtimolligini toping. 
A)1/36          B)5/6            D) 5/36          E) 1/5 
3. Ikkita o„yin kubigi tashlanadi.  Kublarning yoqlarida  tushgan ochko-
lar yig„indisi 8 ga ko„paytmasi 12 ga  teng bo„lishi ehtimolligini toping. 
A)  2/36            B)  1/16            D) 1/36              E) 6/5 
4. Тanga ikki marta tashlanadi.  Hech bo„lmaganda bir marta “raqam”li 
tomon tushish ehtimolligini toping. 
A) 3/4              B) 2/4               D) 1            E) 1/4 
5. Yashikda  50 ta bir хil detal bor, ulardan 45 tasi bo„yalgan. Тavakka-
liga 1 ta detal olinadi. Olingan detal bo„yalmagan bo„lish ehtimolligini 
toping. 
A)0,5          B) 0,1           D) 0,4           E) 0,9 
6. Oltita bir хil kartochkaning har biriga quyidagi harflardan biri yozil-
gan: a, l, m, p, c, o. Kartochkalar yaхshilab aralashtirilgan. Bittalab olin-
gan va bir qator qilib terilgan to„rtta kartochkada “olma” so„zini o„qish 
mumkinligi ehtimolligini toping. 
A) 1/300      B) 1/360        D)1/60       E)4/6 
7. Ikkita o„yin kubigi tashlanadi. Kublarning tushgan tomonlaridagi och-
kolar  yig„indisi  juft  son,  shu  bilan  birga,  kublardan  hech  bo„lmaganda 
bittasining tomonida olti ochko chiqish ehtimolligini toping. 
A)1/36      B) 5/36    D) 1/6       E)1/18 
8. Qutida raqamlangan oltita bir хil kub bor. Hamma kublar tavakkaliga 
bittalab  olinadi.  Olingan  kublarning  raqamlari  ortib  borish  tartibida 
chiqish ehtimolligini toping.   
A) 1/720       B) 1/6        D) 3/4        E) 1/36 
9. Yashikda 100 ta detal bo„lib, ulardan 10 tasi yaroqsiz. Тavakkaliga 4 
ta  detal  olingan.  Olingan  detallarda  yaroqsiz  detallar  bo„lmasligi 
ehtimolligini toping.  
A)
          B) 
           D) 
       E) 
 
10.  Qurilma  5  ta  elementdan  iborat  bo„lib,  ularning  2  tasi  eskirgan. 
Qurilma  ishga  tushirilganda  tasodifiy  ravishda  2  ta  element  ulanadi. 
Ishga  tushirishda  eskirmagan  elementlar  ulangan  bo„lish  ehtimolligini 
toping. 
4
4
90
100
/
С
С
4
4
91
101
/
С С
4
4
10
100
/
С С
3
4
10
100
/
С С

---

 
144 
A) 
      B) 
       D) 
        E) 
 
11.  Tavakkaliga  40  dan  katta  bo„lmagan  natural  son  tanlanganda  uning 
40 ning bo„luvchisi bo„lishi ehtimolligini toping. 
A) 0,13        B)  0,15    D) 0,4          E) 6 
12.  Alohida  kartochkalarga  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9  raqamlar  yozilgan. 
Kartochkalar  yaxshilab  aralashtirilgach,  tavakkaliga  4  tasi  olinadi  va 
ketma-ket  qator  qilib  teriladi.  Hosil  bo`lgan  son  1234  bo„lishi 
ehtimolligini toping.  
A) 0,9       B) 0,4       D) 0,00033     E) 0,0033 
13. Guruhda 30 ta talaba bo„lib, ulardan 8 tasi a‟lochi. Ro„yхat bo„yicha 
tavakkaliga  7  talaba  ajratilgan.  Ajratilganlar  orasida  5  ta  a‟lochi  talaba 
bo„lishi ehtimolligini toping.  
A)
       B)
     D) 
          E)
 
14. Buyumlar partiyasidan tovarshunos oliy nav buyumlarni ajratmoqda. 
Тavakkaliga olingan buyumning oliy nav bo„lish ehtimolligi 0,8 ga teng. 
Тekshirilgan 3 ta buyumdan faqat ikkitasi oliy nav bo„lishi ehtimolligini 
toping. 
A) 0,384             B) 0,064          D) 0,084           E) 0,8 
15. Ikki хil detallar to„plami bor. Birinchi to„plamdagi detallarning stan-
dart bo„lish ehtimolligi 0,9 ga, ikkinchisiniki esa 0,7 ga teng.  Тavakka-
liga tanlangan to„plamdan tasodifiy  ravishda olingan  detalning standart 
bo„lish ehtimolligini toping. 
A) 0,8 
B) 0,85 
D) 0,9 
E) 0,75 
16.  Ikkita  o„yin  soqqasi  tashlangan.  Soqqalarning  tomonlarida  chiqqan 
ochkolar yig„indisi yettiga teng bo„lmaslik ehtimolini toping. 
A)              B)          D)            D  
17.  Ikkita  o„yin  soqqasi  tashlangan.  Chiqqan  ochkolar  yig„indisi  sak-
kizga, ayirmasi esa to„rtga teng bo„lish ehtimolini toping.  
A)         B)         D)         E)  
18.  Ikkita  o„yin  soqqasi  tashlangan.  Soqqalarning  tomonlarida  chiqqan 
ochkolar  yig„indisi  beshga,  ko„paytmasi  esa  to„rtga  teng  bo„lish  ehti-
molini toping. 
A)         B)        D)         E)   
19.  Qutida  raqamlangan  oltita  bir  xil  kubik  bor.  Hamma  kubiklar 
tavakkaliga bittalab olinadi. Olingan kubiklarning raqamlari ortib borish 
tartibida chiqish ehtimolini toping.   
2
3
3
5
/
С С
1
2
3
5
/
С С
4
4
10
5
/
С С
1
4
3
5
/
С С
3
2
9
10
5
12
/
С С С

2
9
15
12
/
С С
5
2
7
8
22
30
/
С С
С

7
9
15
12
/
С С

---

 
145 
A) 
 
   
       B) 
 
 
        D) 
 
 
      E) 
 
  
 
20. Dastada 101, 102, … , 120 bilan raqamlangan va ixtiyoriy taxlangan 
20  ta  kartochka  bor.  Talaba  tavakkaliga  ikkita  kartochka  oldi.  101  va 
120 raqamli kartochkalar chiqish ehtimolini toping. 
A) 
      B) 
     D) 
      E) 
 
21. Yashikda 1, 2, … , 10 lar bilan  raqamlangan 10 ta bir xil detal bor. 
Tavakkaliga  6  ta  detal  olingan.  Olingan  detallar  orasida  1  bilan 
raqamlangan detal bo„lish ehtimolini toping. 
A) 0,6        B) 0,4       D) 0,2      E) 0,3 
22.  Yashikda  100  ta  detal  bo„lib,  ulardan  10  tasi  brak  qilingan. 
Tavvakalliga  4ta  detal  olingan.  Olingan  detallarda  yaroqli  detallar 
bo„lmasligi ehtimolini toping. 
A) 
       B) 
       D) 
       E) 
 
23.  Qurilma  5  ta  elementdan  iborat  bo„lib,  ularning  2  tasi  eskirgan. 
Qurilma  ishga  tushirilganda  tasodifiy  ravishda  2  ta  element  ulanadi. 
Ishga  tushirishda  eskirmagan  elementlar  ulangan  bo„lish  ehtimolini 
toping. 
A)        B)        D) 
      E)   
24.  Abonent,  telefon  raqamini  terayotib  raqamning  oxirgi  uch  raqamini 
eslay  olmadi  va  bu  raqamlar  turli  ekanligini  bilgan  holda  ularni 
tavakkaliga terdi. Kerakli raqamlar terilgan bo„lish ehtimolini toping. 
A) 
      B)        D)        E) 
 
25. 12 detaldan iborat partiyada 6 ta standart detal bor. Tavakkaliga 3 ta 
detal  olingan.  Olingan  detallar  orasida  rosa  2  ta  standart  detal  bo„lish 
ehtimolini toping. 
A)
        B) 
        D) 
        E) 
 
26.  Sexda  6  erkak  va  4  ayol  ishchi  ishlaydi.  Tabel  raqamlari  bo„yicha 
tavakkaliga  7  kishi  ajratilgan.  Ajratilganlar  orasida  3  ayol  bo„lish 
ehtimolini toping. 
A) 
        B) 
        D) 
        E) 
 

---

 
146 
27.  Skladda  15  ta  disk  bor  bo„lib,  ularning  10  tasi  Nukus  shahrida 
tayyorlangan.  Tavakkaliga  olingan  5  ta  disk  orasida  3  tasi  Nukus 
shahrida tayyorlangan bo„lish ehtimolini toping. 
A) 
         B)  
         D) 
        E) 
 
28. Nishonga 40 ta o„q uzilgan, shundan 4 ta o„q nishonga tekkani qayd 
qilingan. Nishonga tegishlar nisbiy chastotasini toping. 
A) 0,1     B) 0,4     D) 0,2     E) 0,8 
29. ,,Maxfiy” qulfning umumiy o„qida 4 ta disk bo„lib, ularning har biri 
5 ta sektorga bo„lingan va sektorlarga turli raqamlar yozilgan. Disklarni 
ulardagi  raqamlar  tayin  to„rt  xonali  son  tashkil  qiladigan  qilib 
o„rnatilgan  holdagina  qulf  ochiladi.  Disklarni  ixtiyoriy  o„rnatishda 
qulfning ochilish ehtimolini toping. 
A)         B)         D)         E) 1 
30.  Asboblar  partiyasini  sinov  vaqtida  yaroqli  detallarini  nisbiy 
chastotasi 0,9 ga teng bo„lib chiqdi. Agar hammasi bo„lib 200 ta asbob 
sinalgan bo„lsa, yaroqli asboblar sonini toping.   
A) 180       B) 200      D) 120      E) 0,9 
31.  Radiusi  10  bo„lgan  doiraga  radiusi  5  bo„lgan  kichik  doira  joylash-
tiriladi.  Katta  doiraga  tashlangan  nuqtaning  kichik  doiraga  ham  tushish 
ehtimolini  toping.  Nuqtaning  doiraga  tushish  ehtimoli  doira  yuziga 
proporsional bo„lib, uning joylashishiga bog„liq emas deb faraz qilinadi. 
A) 0,25       B) 0,1      D) 0,21       E) 0,8 
32.  Ikkita  to„pdan  bir  yo„la  o„q  uzishda  nishonga  bitta  o„q  tegish 
ehtimoli  0,38  ga  teng.  Agar  ikkinchi  to„pdan  bitta  otishda  o„qning 
nishonga  tegish  ehtimoli  0,8ga  teng  bo„lsa,  bu  ehtimolni  birinchi  to„p 
uchun toping. 
A) 0,7      B) 0,3      D) 0,21      E) 0,9 
33.  Talaba  o„ziga  kerakli  formulani  uchta  spravochnikdan  izlamoqda. 
Formulaning birinchi, ikkinchi, uchinchi, spravochnikda bo„lish ehtimoli 
mos  ravishda  0,6;  0,7;  0,8  ga  teng.  Faqat  bitta  spravochnikda  bo„lish 
ehtimolini toping. 
A) 0,188      B) 0,064        D) 0,084      E) 0,8 
35.  Yosh  bola  A,A,A,E,I,K,M,M,T,T  harfli  kartochkalarni  o„ynab 
o„tiribdi.  Bola  shu  harflarni  tasodifan  bir  qatorga  qo„yganida 
“matematika” so„zining yozilish ehtimolini toping.  
A) 
        B) 1     D) 10!     E)   

---

 
147 
36. Piramidada beshta miltiq bo„lib, ularning uchtasi optik nishon bilan 
ta‟minlangan. Mergannig optik nishonli miltiqdan o„q uzganda nishonga 
tekkizish ehtimoli 0,95ga teng; optik nishon o„rnatilgan miltiq uchun bu 
ehtimol  0,7ga  teng.  Agar  mergan  tavakkaliga  olingan  miltiqdan  o„q 
uzsa, o„qning nishonga tegish ehtimolini toping. 
A) 0,85     B) 0,81      D) 0,83     E) 0,2 
37.  1,2,3  raqamlardan  ularning  har  biri  tarkibida  faqat  bir  marta 
uchraydigan nechta uch xonali son tuzish mumkin? 
A) 6      B) 5       D) 7      E) 3 
38. “Kitob” so„zidan tasodifiy ravishda bitta harf tanlandi.  Bu  unli harf 
bo„lish ehtimoli nimaga teng? 
A)          B) 0         D) 1      E)   
39. Qaysi hodisalar uchun quyidagi tenglik o„rinli: 
 
A) Bog„liq hodisalar uchun 
B) Bog„liqsiz hodisalar uchun 
D) Mumkin bo„lmagan hodisa 
E)
  hodisalar uchun. 
40.  Agar  normal  atmosfera  bosimi  bo„lsa,  u  holda  +100
0
  da  suvning 
qaynashi qanday hodisa bo„ladi? 
A) muqarrar hodisa 
B) elementar hodisa 
D) E.X.F 
                                  E) To„la guruh 
 
 
 
(
)
( )
( )
А
Р АВ
Р А Р В


А В


---

 
148 
ILOVALAR 
1-jadval 
x
e    va  
x
e

   funksiyalarning qiymatlari 
 
x
 
x
e

 
x
e
 
x
 
x
e

 
x
e
 
x
 
x
e

 
x
e
 
0,0 
1,000 
1,00 
1,8 
0,165 
6,05 
3,6 
0,027 
36,6 
0,1 
0,905 
1,11 
1,9 
0,150 
6,69 
3,7 
0,025 
40,5 
0,2 
0,818 
1,22 
2,0 
0,135 
7,39 
3,8 
0,022 
44,7 
0,3 
0,741 
1,35 
2,1 
0,123 
8,17 
3,9 
0,020 
49,4 
0,4 
0,670 
4,49 
2.2 
0,111 
9,03 
4,0 
0,018 
54,6 
0,5 
0,607 
1,65 
2.3 
0,100 
9,97 
4,5 
0,011 
90.02 
0,6 
0,549 
1,82 
2,4 
0,091 
11,0 
5,0 
0,00674 
148,4 
0,7 
0,497 
2,01 
2,5 
0,082 
12,2 
5,5 
0,00409 
244,7 
0,8 
0,449 
2,23 
2,6 
0,074 
13,5 
6,0 
0,00248 
403.4 
0,9 
0,407 
2,46 
2,7 
0,067 
14,9 
6,5 
0,00150 
665,1 
1,0 
0,368 
2,72 
2,8 
0,061 
16,5 
7,0 
0,000912 
1096,6 
1,1 
0,333 
3,00 
2,9 
0,055 
18,2 
7,5 
0,000553 
1808,0 
1,2 
0,301 
3,32 
3,0 
0,050 
20,1 
8,0 
0,000335 
2981,0 
1,3 
0,27 
3,67 
3.1 
0,045 
22,2 
8,5 
0,000203 
4914,8 
1,4 
0,247 
4,06 
3.2 
0,041 
24,5 
9,0 
0,000123 
8103,1 
1,5 
0,223 
4,48 
3,3 
0,037 
27,1 
9.5 
0,000075  133360,0 
1,6 
0,202 
4,95 
3,4 
0,033 
30,0 
10,0 
0,000045  220026,0 
1,7 
0,183 
5,47 
3,5 
0,030 
33,1 
 
 
 
 
)!
(
!
!
n
N
n
N
С
n
N



 
2-jadval 
 
n
 
 
N
 
 
1  2  3  4  5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
0 
1  1  1  1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1  2  3  4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
2 
  1  3  6  10  15  21  28 
36 
45 
55 
66 
78 
91 
105 
120 
3 
 
  1  4  10  20  35  56 
84  120  165  220 
286 
364 
455 
560 
4 
 
 
  1 
5  15  35  70  126  210  330  495 
715  1001  1365 
1820 
5 
 
 
 
 
1 
6  21  56  126  252  462  792  1287  2002  3003 
4368 
6 
 
 
 
 
 
1 
7  28 
84  210  462  924  1716  3003  5005 
8008 
7 
 
 
 
 
 
 
1 
8 
36  120  330  792  1716  3432  6435 
11440 
8 
 
 
 
 
 
 
 
1 
9 
45  165  495  1287  3003  6435 
12870 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
10 
55  220 
715  2002  5005 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
11 
66 
286  1001  3003 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
12 
78 
364  1365 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
13 
91 
455 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
14 
105 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
15 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 

---

 
149 
 
n
 
N
 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
2 
136 
153 
171 
190 
210 
231 
253 
276 
300 
3 
680 
816 
969 
1140 
1330 
1540 
1771 
2024 
2300 
4 
2380 
3060 
3876 
4845 
5985 
7315 
8855 
10626 
12650 
5 
6188 
8568  11628 
15504 
20349 
26334 
33649 
42504 
53130 
6 
12376 
18564  27132 
38760 
54264 
74613 
100947 
134596 
177100 
7 
19448 
31824  50388 
77520  116280  170544 
245157 
346104 
480700 
8 
24310 
43758  75582  125970  203490  319770 
490314 
735471  1081575 
9 
 
48620  92378  167960  293930  497420 
817190  1307504  2042975 
10 
 
 
  184756  352716  646646 
1144066  1961256  3268760 
11 
 
 
 
 
  705432 
1352078  2496144  4457400 
12 
 
 
 
 
 
 
  2704156  5200300 
 
 
 
n
 
N
 
26 
27 
28 
29 
30 
31 
32 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
26 
27 
28 
29 
30 
31 
32 
2 
321 
351 
378 
406 
435 
465 
469 
3 
2600 
2925 
3276 
3654 
4060 
4495 
4960 
4 
14950 
17550 
20475 
23751 
27405 
31465 
35960 
5 
65780 
80730 
98280 
118755 
142506 
169911 
201376 
6 
230230 
296010 
376740 
475020 
593775 
736281 
906192 
7 
657800 
888030 
1184040 
1560780 
2035800 
2629575 
3365856 
8 
1562275 
2220075 
3108105 
4292145 
5852925 
7888725 
10518300 
9 
3124550 
4686825 
6906900  10015005 
14307150 
20160075 
28048800 
10 
5311735 
8436285  13123110  20030010 
30045015 
44352165 
64512240 
11 
7726160 
13037895  21474180  34597290 
54627300 
84672315  129024480 
12 
9657700 
17383860  30421755  51895935 
86493225  141120525  225792840 
13 
10400600 
20058300  37442160  67863915  119759850  206253075  347373600 
14 
 
  40116600  77558760  145422675  265182525  471435600 
15 
 
 
 
  155117520  300540195  565722720 
16 
 
 
 
 
 
  601080390 
 
 
 
 

---

 
150 
 
n
 
N
 
33 
34 
35 
36 
37 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
33 
34 
35 
36 
37 
2 
528 
561 
595 
630 
666 
3 
5456 
5984 
6545 
7140 
7770 
4 
40920 
46376 
52360 
58905 
66045 
5 
237336 
278256 
324632 
376992 
435897 
6 
1107568 
1344904 
1623160 
1947792 
2324784 
7 
4272048 
5379616 
6724520 
8347680 
10295472 
8 
13884156 
18156204 
23535820 
30260340 
38608020 
9 
38567100 
52451256 
70607460 
94143280 
124403620 
10 
92561040 
131128140 
183579396 
254186856 
348330136 
11 
193536720 
286097760 
417225900 
600805296 
854992152 
12 
354317320 
548354040 
834451800 
1251677700 
1852482996 
13 
573166440 
927983760 
1476337800 
2310789600 
3562467300 
14 
818809200 
1391975640 
2319959400 
3796297200 
6107086800 
15 
1037158320 
1855967520 
3247943160 
5567902560 
9364199760 
16 
1166803110 
2203961430 
4059928950 
7307872110 
12875774670 
17 
 
2333606220 
4537567650 
8597496600 
15905368710 
18 
 
 
 
9075135300 
17672631900 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

 
151 
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 
 
1.  Алгебра  ва  анализ  асослари.  10-11  синфлар  учун  дарслик. 
Колмогоров А. Н. таҳрири остида. ‒Тошкент: “Ўқитувчи”, 1992. 
2.  Vafoyev  R.  H.  va  boshqalar.  Algebra  va  analiz  asoslari.  Akademik 
litsey  va  kasb-hunar  kollejlari  uchun  o„quv  qo„llanma.  ‒Toshkent: 
“O„qituvchi”, 2001. 
3.  Abduhamidov  A.  U.  va  boshqalar.  Algebra  va  analiz  asoslari. 
Akademik  litsey  va  kasb-hunar  kollejlari  uchun  sinov  darsligi.  ‒
Toshkent: “O„qituvchi”, 2001. 
4. Боровков А.А.  Теория вероятностей. ‒М.: УРСС, 2003. 
5. Ширяев А.Н. Вероятность. 1,2. ‒М: МЦНМО, 2004. 
6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. T.: 
1,2. ‒М.: Мир, 1984.  
7. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. ‒М.: УРСС, 2005. 
8.  Сирожиддинов  С.Х.,  Маматов  М.М.  Эҳтимоллар  назарияси  ва 
математик статистика. ‒Т., 1972. 
9.  Расулов  А.С.,  Раимова  Г.М.,  Саримсакова  Х.Қ.  Эҳтимоллар 
назарияси ва математик статистика. ‒Т., 2005. 
10. Зубков А.М., Севастянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по 
теории вероятностей. ‒М.: Наука, 1999. 
11.  Гмурман  В.Е.  Теория  вероятностей  и  математическая  статис-
тика. ‒М.: Высшая школа, 2003. 
12.  Sh.Q.Farmonov  va  boshqalar.  Ehtimollar  nazariyasi  va  matematik 
statistika. Pedagogika oliy ta‟lim muassalari  uchun darslik. ‒T., 2012. 
13.Applied  Statistics  and  Probability  for  Engineers.  Third  Edition. 
Douglas  Montgomery,  George    Runger.  Arizona  State  University. 
Printed in the United States of America.2003. 
14.  Combinatorics.  Second  Edition.  Russel  Merris.  California  State 
University, Hayward. Printed in the United States of America. Published 
simultaneously in Canada. 2003. 
 
 
 
 

---

 
152 
MUNDARIJA 
 
So„z boshi…………………………………………………………...  3 
 
I BOB. STOXASTIKA ELEMENTLARINING 
MATEMATIKA TA’LIMIDA SHAKLLANISH 
BOSQICHLARI 
 
 
1-§. Stoxastikaning  rivojlanish tarixi………………………………  5 
       1.1. Kombinatorika……………………………………………..  5 
       1.2. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika……………..  9 
2-§. O„zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika 
fani………………………………………………………………….. 
 
14 
 
II  BOB. KOMBINATORIKA ELEMENTLARI 
 
 
1-§. Kombinatorikaning asosiy qoidalari, takrorsiz birlashmalar…..  27 
      1.1. Kombinatorika haqida umumiy tushuncha…………………  27 
      1.2. O„rinlashtirishlar…………………………………………...  30 
      1.3. O„rin almashtirish…………………………………………..  35 
      1.4. Guruhlashlar (gruppalashlar)……………………………….  37 
      1.5. Binom  formulasi…………………………………………...  40 
2-§.  Kombinatorikaning  asosiy  qoidalari,  takrorsiz  birlashmalarga 
doir misollar………………………………………………………... 
 
47 
      2.1. Kombinatorikaning asosiy qoidalariga doir misollar………  47 
      2.2. O„rinlashtirishlarga doir misollar…………………………..  49 
      2.3. O„rin almashtirishga doir misollar…………………………  50 
      2.4. Guruhlashlarga (quruhlashlar) doir misollar……………...   51 
      2.5. Binom  formulasiga doir misollar………………………….  53 
3-§.  Takrorlanuvchi  o„rinlashtirishlar,  o„rin  almashtirish  va 
quruhlashlar……………………………………………………….. 
 
56 
      3.1.Takrorlanuvchi o„rinlashtirishlar…………………………...  56 
      3.2.Takrorli o„rin almashtirish…………………………………..  58 
      3.3.Takrorli quruhlashlar……………………………………… 
61 
4-§.  Takrorlanuvchi  o„rinlashtirishlar,  o„rin  almashtirish  va 
quruhlashlarga doir misollar………………………………………. 
 
63 
     4.1.Takrorlanuvchi o„rinlashtirishlarga doir misollar…………...  63 
     4.2.Takrorli o„rin almashtirishga doir misollar………………….  64 
     4.3.Takrorli quruhlashlarga doir misollar……………………… 
66 

---

 
153 
5-§. Takrorlashga doir misollar……………………………………..  67 
     5.1.Takrorsiz  va  takrorlanuvchi  o„rinlashtirishlar,  o„rin  almash-
tirishlar, quruhlashlarga doir misollar…………………………….... 
 
67 
 
III BOB.  EHTIMOLLAR NAZARIYASI 
 
 
1-§. Ehtimollikni hisoblash…………………………………………  72 
      1.1. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari……………  72 
      1.2. Hodisalar va ular ustida amallar……………………………  74 
      1.3. Ehtimollikni hisoblashning turli ta‟riflari…………………..  79 
      1.4. Ehtimollikning xossalari……………………………………  82 
2-§. Bog„liqmas va bog„liq hodisalar……………………………….  85 
     2.1. Shartli ehtimollik, ehtimollikning ko„paytirish teoremasi….   88 
     2.2. Hech bo„lmasa bitta hodisaning ro„y berish ehtimolligi……  88 
     2.3. To„la ehtimollik formulasi…………………………………..  89 
     2.4. Bayes formulaci  (gipotezalar teoremasi)…………………...  91 
     2.5.  Bog„liqmas  sinovlar  ketma-ketligi.  Bernulli  sxemasi, 
binomial  taqsimot………………………………………………….. 
 
93 
3-§. Ehtimollikni hisoblashga doir misollar……………………..…  97 
     3.1. Ehtimollikning klassik ta‟rifiga doir misollar………………  97 
     3.2. Ehtimollikning geometrik ta‟rifiga doir misollar…………...  100 
     3.3. Hodisalar va ular ustida amallar…………………………….  102 
4-§. Takrorlashga doir misollar…………………………………... 
106 
5-§. Bog„liqmas va bog„liq hodisalarga doir misollar…………….  
115 
  5.1.   Shartli ehtimollik va  hech bo„lmasa bitta hodisaning ro„y       
berish    ehtimolligiga doir misollar………………………………... 
 
115 
     5.2.  To„la  ehtimollik  formulasiga  va  Bayes  formulalari    
(gipotezalar teoremasi)ga doir misollar…………………………….. 
 
119 
     5.3.  Bog„liqmas  sinovlar  ketma-ketligi.  Bernulli  cxemasi, 
binomial taqsimotga  doir misollar…………………………………. 
 
123 
6-§. Takrorlashga doir misollar……………………………………..   125 
 
IV  BOB.   MATEMATIK STATISTIKA  ELEMENTLARI 
 
 
1-§. Matematik statistikaning asosiy masalalari…………………….  131 
      1.1.  Bosh  to„plam,  tanlanma  to„plam  va  uning  hosil  qilish 
usullari………………………………………………………………  
 
131 
      1.2. Matematik statistikaning asosiy masalalari………………... 
 
133 

---

 
154 
      1.3.  Variatsion  qator.  Tasodifiy  miqdorning  empirik  taqsimot    
funksiyasi………………………………………………………….. 
 
134 
      1.4. Poligon va gistogramma……………………………………  136 
2-§. Matematik statistika elementlariga  doir  misollar……………..   140 
 
TEST TOPSHIRIQLARI………………………………………… 
 
144 
ILOVALAR………………………………………………..………  149 
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………….  152 
 
 
 

---

 
155 
 
 
 
ULUG‘BEK XURSANALIYEVICH XONQULOV  
 
 
 MATEMATIKANING STOXASTIKA   
YO‘NALISHI  ELEMENTLARI 
 
 
Toshkent – «Fan va texnologiya» – 2017 
 
 
 
 
Muharrir:   
 
Sh.Aliyeva 
Tex. muharrir: 
 
F.Tishaboyev 
Musavvir:                     
D.Azizov
 
Musahhih:   
 
N.Hasanova 
Kompyuterda  
sahifalovchi: 
 
N.Raxmatullayeva 
 
 
 
 
 
 
 
 
E-mail: [e-mail]   Tel: [phone],  245-61-61. 
Nashr.lits. АI№149, 14.08.09. 
Bosishga ruxsat etildi: 06.11.2017.  
Bichimi 60x84 
1
/
16
. «Timez Uz» garniturasi. Ofset bosma usulida bosildi. 
Shartli bosma tabog‘i  9,5. Nashriyot bosma tabog‘i  9,75.  
Tiraji  500. Buyurtma №185. 
 
 
«Fan va texnologiyalar Markazining  
bosmaxonasi» da chop etildi. 
100066, Toshkent sh., Olmazor ko‘chasi, 171-uy.