U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

partiyadan 6 ta detalni to„rttasi sifatli, ikkitasi nuqsonli bo„ladigan qilib 
nechta usul bilan tanlab olish mumkin? 
J: 
 
  
 
   
 
 
  
 
 2.5. Binom  formulasiga doir misollar 
 
1-misol.  Agar 
(√ 
   
 
    
 
 
 
  √ 
   
 
  
 
   
 
)
 
  binom  yoyilmasi-
ning  ikkinchi,  uchinchi  va  to„rtinchi  hadining  binomial  koeffitsiyenti  
mos  ravishda  arifmetik  progressiyaning  to„rtinchi,  ettinchi  va  o„ninchi 
hadlaridan  iborat  ekanligi  ma‟lum  bo„lsa, 
   o„zgaruvchining  qanday  
qiymatlarida shu binom yoyilmaning to„rtinchi hadi  35 ga teng bo„ladi.    
Yechish:  Arifmetik  progressiyaning 
     
 
   
 
   
  
  shartiga 
ko„ra, binom yoyilmaning  
 
 
 
     
 
 
      
 
 
  koeffitsiyentlari uchun  
     
 
 
   
 
 
   
 
 
 
o„rinli bo„ladi.  
U holda    
   
  
             
 
  
        
 
  
             
   
  
                  
 
  
                            
 
  
            
   
 
     
 
 
                 
 
 
 
   
 
 
 
             .  
Ushbu 
 
 
               kvadrat  tenglamaning  ildizlari        
       ga teng.  Lekin masala shartini         qanoatlantiradi.  
(√ 
   
 
    
 
 
 
  √ 
   
 
  
 
   
 
)
 
 
binom yoyilmaning  to„rtinchi hadi  
 
 
 
   
   
 
    
 
 
   
 
     
 
 
 
 
ifodaga teng. Masala shartiga ko„ra,  
 
 
 
   
   
 
    
 
 
   
 
     
 
 
 
     
 bo„lgani uchun   
   
 
      
 
       
 
  
 
         
 tenglamani yechamiz.  Javob: yechimi yo„q. 
 
 
 

---

 
54 
Misollar 
1. 
(   
 
√ 
)
 
   Nyuton binomi formulasidan foydalanib yoying. 
        J: 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  √ 
 
 
 
 
 
 
   
√ 
  
 
2.  
                  
 
  yoyilmasidan eng katta koeffitsiyentni toping.  
         J:  5! 
3. 
( 
 
 
 
√ 
)
 
 binom yoyilmasining o„rta hadini toping.  
       J: 
 
 
 
 
 
(
 
√ 
)
 
      
 
 
 
  
(
 
√ 
)
 
     
4. 
(
 
 
   
 
 
√ )
 
  binom  yoyilmasining 
 
 
  qatnashgan  hadinining  
nomerini   toping.            
    J:   5. 
5.   
(√
√ 
 
 
  √
√ 
 
 
)
  
binom  yoyilmasida 
   va     qiymatning  bir  xil 
darajalari  qatnashgan hadining nomerini toping.  
  J:   Bunday  had mavjud emas.  
6. 
( 
 
 
    
 
 
)
 
 binom formulasidan foydalanib yoying.  
J:    
( 
 
 
    
 
 
)
 
  ( 
 
 
)
 
          
 
 
(√ )
 
      √ 
 
      
 
 
 
 
 
(√ )
 
  (    √ 
 
)
 
      
     
 
   
 
 
( √ 
 
)
 
   
 
 
     
 
 
     
  
 
     
 
     
  
 
    √ 
 
 
 
7. 
(
√ 
 
 
√ 
 
 √ 
√ ( √ 
 
  √ 
 
)
   √ )
 
  ifoda  soddalashtirilsin  va  yoyilmaning 
  
qatnashmagan hadi topilsin.  
J:  beshinchi had, 
    √ 
 
 
 
8.  Bir  binomning  daraja  ko„rsatkichi  ikkinchi  binomning  daraja 
ko„rsatkichidan 6 ta kam, har ikkala yoyilma binom koeffitsiyentlarining 
yig„indisini  o„nli    logarifmlarini  qo„shsak,  natija  0  ga  teng.  Shu 
ko„rsatkichni toping.    
      J:  
        
9. 
(√   
 
 
)
 
binom  yoyilmasi  uchinchi  hadining  koeffitsiyenti  36 
soniga teng bo„lsa, shu yoyilmaning to„qqizinchi hadini toping.   
  J:   
   
 
√ 
  
     

---

 
55 
10.
 (√   
 
√ 
)
 
  binom  yoyilmasining  oltinchi  hadi  koeffitsiyenti  uning 
sakkizinchi  hadi  koeffitsiyentidan  21  marta  katta.  Yoyilmaning 
   qat-
nashmagan hadini   toping. 
        Ko‘rsatma:  
 
 
 
        
 
 
  dan foydalaning. 
                
        J:    
       uchun uchinchi had      
 
 
11.
 (√ √ 
 
   √
 
 
)
 
binom  yoyilmasining  barcha  binomial  koef-
fitsiyentlari  yig„indisi  256  soniga  teng.  Shu  binom  yoyilmasining 
 
 
  
qatnashgan hadini toping. 
J: Izlanayotgan (uchinchi) had   
    
 
 
12.  Maxraji 
(√ 
 
 
 
√ 
)    ga,  birinchi  hadi  2  soniga  teng  bo„lgan 
geometrik  progressiyaning oltinchi hadini toping. 
       
 
          
 
   
 
 
 
      √ 
 
 
     √ 
 
√ 
      
     √ 
 
√ 
 
 
 
  √ 
 
 
√ 
 
 
   √ 
 
    √  
 
        √   
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
13.  
          
  
   Nyuton binom formulasidan  foydalanib yoying.     
Yoyilmada   nechta    had qatnashgan?  
J: 
           
  
   
  
   
  
   
  
      
 
      
 
   
 
      
 
    
 
 
 
 
         
 
      
 
      
 
           
 
 
 
     
 
  
 
   
 
 
 
     
 
  
 
   
 
 
 
   
 
 
  
 
          
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
    
 
 
 
 
 
         
 
 
 
     
 
  
 
   
 
 
 
   
 
 
  
 
   
 
 
 
     
 
  
 
          
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 +      
 
 
 
     
 
  
 
   
 
 
 
     
 
  
 
   
 
 
 
     
 
  
 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
          
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
         
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
         
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
     
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
  
14. 
(  
 
 
 
  
)
 
binom  yoyilmaning  ko„rsatkichi  m  ning  qanday 
qiymatida  ikkinchi,  uchinchi  va  to„rtinchi  hadlarining    koeffitsiyentlari 
arifmetik  progressiyani tashkil etadi. 
       Ko‘rsatma: 
 
 
 
   
 
 
       
 
 
   dan foydalaning.  
       J: 
                
15. 
(
√ 
 
√ 
 
      √ 
   
)
 
binom yoyilmaning to„rtinchi hadi 640 ga teng. Bu  
ifodadagi   x  no„malumni toping.  
        J:  
        √  

---

 
56 
16. 
   ning  qanday  qiymatida  (
 
√ 
 
  √ 
 
)
 
  binom  yoyilmasining  biror 
hadidagi 
   ning  darajasini  shu  haddan    keyingi  haddagi     ning  daraja 
ko„rsatkichiga  nisbati 
 
 
 
  bo„lganda,  bu  hadni 
 
 
 
  ga    ko„paytirsak, 
keyingi haddan 126 ta  ko„p bo„ladi?  
J:  
       
 
 
17.  Binom yoyilmasining uchinchi hadining  koeffitsiyenti to„rtinchi ha-
dining  binomial  koeffitsiyentiga  nisbati 
 
 
  songa  teng  bo„lsa,  x  ning 
qanday  qiymatida 
(√ 
 
 
 
 
√ 
   
 
)
 
binom  yoyilmasining  oltinchi  hadi 
binom  ko„rsatkichidan 16  marta katta bo„ladi? 
       J: 
      da      
  
  
 
18.  Agar  binom  yoyilmasining  oxirgi  uchta  hadini  binomial    koeffit-
siyentlari  yig„indisi  37  ga  teng  ekanligi  ma‟lum    bo„lsa,  x  ning  qanday 
qiymatida 
( 
   
 
   
   
 
)
 
binom  yoyilmasining  to„rtinchi  va  ettinchi 
hadlari yig„indisi  
       
    
 
 teng bo„ladi?   
     Ko‘rsatma:  Binom  yoyilmasining  boshidan  va  oxiridan  barobar  
uzoqlikda  turgan  hadlarining  binomial  koeffitsiyentlari          tengligidan    
foydalaning.  
       
       
   
     
J:  
      da      
 
 
     
19.  Agar 
(√ 
       
 
 
  √ 
         
 
 
)
 
  binom  yoyilmasining  ikkinchi, 
uchinchi  va  to„rtinchi  hadlarining  binomial  koeffitsiyentlari  mos  
ravishda arifmetik  progressiyani ikkinchi, oltinchi va  uninchi hadlariga 
teng  ekanligi  ma‟lum  bo„lsa,  x  ning  qanday    qiymatida  shu  binom 
yoyilmasining  beshinchi  hadi 315 ga teng  bo„ladi.  
     Ko‘rsatma: 
     
 
   
 
   
  
  arifmetik  progressiya    xossasidan     
foydalaning. 
J: 
        da               
 
3-§. Takrorlanuvchi o‘rinlashtirishlar, o‘rin almashtirish va 
guruhlashlar 
 
           3.1.  Takrorlanuvchi  o‘rinlashtirishlar.
    ta  elementdan  iborat 
to„plam  berilgan  bo„lib,  uning  elementlaridan 
   uzunlikdagi  kombinat-
siyalar tuzilsin. Kombinatsiyalardagi har bir elementlar 
  tadan oshma-

---

 
57 
gan holda istalgancha takrorlanishi mumkin bo„lsin. Bu kombinatsiyalar 
bir-biridan elementlarining tarkibi va joylashish tartibi bilan farq qiladi. 
Bunday usul bilan tuzilgan birlashmalarga 
  ta elementdan   tadan olib 
tuzilgan takrorli o„rinlashtirishlar deyiladi.  
          Ushbu  misolga  qaraylik. 
       ta  elementli      {     }  to„plam 
elementlaridan  raqamlari  takrorlanishi  mumkin  bo„lgan    ikki  xonali 
sonlarni topish talab qilinsin. 
          Ikki  xonali  sonning  ko„rinishi 
    bo„lib,  uzunligi  ikkiga  teng 
bo„lgan  kombinatsiyani  ifodalasin.  Birinchi  raqamni  tanlash  uchun 
    {     }  to„plamning  elementlaridan  birini,  ya‟ni  uchta  imkoniyat, 
ikkinchi  raqamni  tanlash  uchun  esa,  yana  uchta  imkoniyat  mavjud. 
Chunki  ikki  xonali  sonning  raqamlari  takrorlanishi  mumkinligi  masala 
shartida  keltirilmoqda.  Ko„paytirish  qoidasiga  ko„ra,  uzunligi  ikkiga 
teng  bo„lgan  kombinatsiyalar  soni 
           ta  ekan.  Bu  sonlar: 
33,44,55,34,35,45,43,53,54 ko„rinishida bo„lishi mumkin.