Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

5-misol. m metrik fazoning to‘laligini isbotlang.

Yechimi. m fazodan olingan ketma-ketlik fundamental bo‘lsin,

bunda bo‘lganligi tufayli shunday ketma ketligi mavjudki, uning uchun (k=1,2,3,…) o‘rinli. Fundamental ketma-ketlikning ta’rifidan, ixtiyoriy uchun shunday natural soni topilib, tengsizliklarni qanoatlantiruvchi n,m natural sonlari uchun

tengsizlik o‘rinli. Bundan

(6)

munosabatning k ga nisbatan tekis bajarilishi kelib chiqadi. Demak,

ixtiyoriy k uchun sonli ketma-ketlik fundamental va yaqinlashuvchi.

Bu ketma-ketlikning limitini bilan belgilab elementni hosil qilamiz. Endi ushbu va munosabatlarni isbotlaymiz.

(6) da p ga nisbatan limitga o‘tilsa, barcha k lar uchun bo‘lganda

o‘rinli bo‘lgan

(7)

tengsizlik kelib chiqadi. Bundan

tengsizlikni barcha k lar uchun hosil qilish mumkin, ya’ni munosabat kelib chiqadi. (6) dan uchun

ixtiyoriy bo‘lgani uchun, (7) dan .munosabat kelib

chiqadi.