Тошкент ахборот технологиялари университети

16.1. Винер оптимал фильтри

Оптимал фильтрлаш ҳақида фикр юритилганда қуйидаги икки нарсага асосланиш керак: кириш сигнали математик модели ва оптималлаштириш сифати мезони. Бу шартлар маълум бўлса, оптимал фильтрлаш масаласи – оптималлаштириш математик моделини тузиш ва уни аналитик ёки сонли шаклда ечишга олиб келади.

Мисол шаклида, киришига тасодифий дискрет сигнал -тартибли коэффициентлари , бўлган дискрет фильтрлар орқали ишлов беришини кўриб чиқамиз (16.2-расм).
Ушбу фильтр чиқиш сигнали қуйидаги фиода орқали аниқланади:


. (16.1)

16.2-расм. Хатолик сигналини шакллантириш.


Кириш сигнали дан ташқари яна намунавий тасодифий сигнал ҳам бўлиб, намунавий сигнални қайта акс эттириш хатолиги қуйидагига тенг:


. (16.2)


Ушбу масалани ечиш учун дискрет фильтр коэффициентлари нинг чиқиш сигнали ни намунавий сигналга энг катта ўхшаш қийматини аниқлаш, яъни хатоликнинг энг кичик қийматини таъминловчи қийматларини топиш керак бўлади. тасодифий жараён бўлгани учун уни бахолашда ўртача квадратик хатолик тушунчасидан фойдаланамиз. Шундай қилиб оптималлаштирилаётган функция қуйидаги кўринишга эга бўлади:


. (16.3)


Бу масалани ечиш учун (16.2) ифодани матрица кўринишига келтирамиз. Бунинг учун фильтр коэффициентлари вектор устунларини орқали ва фильтр -чи қадамидаги кечиктириш линияси чиқишидаги қийматини орқали белгилаймиз


, . (16.4)
(16.4) ни эътиборга олиб (16.2) тенгликни қуйидагича ифодалаш мумкин:


. (16.5)


Хатолик квадрати қуйидагига тенг бўлади:


(16.6)


(16.6) ифодани статистик ўртача қиймати қуйидагича аниқланади:


. (16.7)


Хатолик ўртача статистик қиймати ни аниқлаш ифодаси (16.7) ташкил этувчиларини алоҳида-алоҳида кўриб чиқамиз:
1. – бу намунавий сигналнинг ўртача квадратик қиймати. (16.7) ифоданинг алоҳида ташкил этувчиси бўлиб, у фильтр коэффициентлари қийматларига боғлиқ эмас, шунинг учун уни эътиборга олмаслик мумкин, аммо у фильтр коэффициентларининг оптимал қийматларида хатолик ўртача квадратик қийматига таъсир этади.
2. – бу намунавий сигнал -қиймати ва кечиктириш фильтри -қадамидаги қийматлари ўзаро корреляциясининг вектор устуни. ва – тасодифий жараёнларни биргаликда стационар жараёнлар деб ҳисоблаймиз, у ҳолда уларнинг корреляция векторлари оний қийматларини олиш одими тартиб рақами га боғлиқ бўлмайди:


. (16.8)


3. – бу ўлчамли квадратик матрица бўлиб, у сигналнинг корреляция матрицаси деб аталади. Стационар тасодифий жараёнлар учун корреляция матрицаси бўлиб унинг диагоналларига корреляция функция қийматлари мос келади:


, (16.16)


бунда, – кириш сигнали корреляция функцияси.
Киритилган белгиланишларни эътиборга олиб (16.7) формулани қуйидаги кўринишга келтириш мумкин:


. (16.10)
(16.10) ифода га нисбатан квадратик шакл бўлиб, матрица ягона минимумга эга ва функция минимум қийматини топиш учун градиент векторини нолга тенглаштириш керак


. (16.11)


Ушбу (16.11) ифодадан Винер-Хопф тенгламасини оламиз:


. (16.12)


(16.12) тенгликнинг чап қисмини тескари корреляция матрицаси га кўпайтириб, оптимал фильтр учун керакли ечимни оламиз,


. (16.13)


(16.13) тенглама билан ифодаланадиган фильтр Винер фильтри деб аталади.
Винер фильтрини ифодаловчи (16.13) тенгламага (16.10) ифодани киритиб хатолик сигнали дисперсиясининг эришиши мумкин бўлган минимал қиймати аниқланади:


. (16.14)


ва эканлиги, Винер фильтри чиқишидаги хатолик сигнали унинг чиқишидаги ва киришидаги сигналлар билан корреляцияланган эмас, яъни улар бир-бирига боғлиқ эмаслигини билдиради.
Узатилган сигнални қайта тиклаш, албатта фильтрдан ўтишда сигнални маълум бир вақтга кечикишига сабаб бўлади, шунинг учун намунавий сигнал узатилаётган сигналнинг кечиккан нусхаси бўлиши керак,


. (16.15)


Фильтр кечиктириш линиясининг чи одимига мос чиқишларида бузилган сигналнинг , , , ..., тартиб рақамли оний қийматлари мос келади, бунда – фильтрнинг тартиби. Ушбу оний қийматларнинг ҳар бири узатилган сигнал оний қийматлари чизиқли комбинациясини ташкил этади:


. (16.16)
Бирламчи сигнал оний қийматлари статистик боғлиқ бўлмаганлиги учун векторнинг чи элементини ҳисоблашда ўртача қиймати (16.15) ифоданинг фақат бир ташкил этувчиси учун нолга тенг бўлмайди. Бунда сигналнинг ўртача квадратик қиймати бирга тенглигини ҳам эътиборга олиш керак,


. (16.17)


Шундай қилиб, вектор каналнинг тўнтарилган импульс характеристикасини (керак ҳолларда ҳар икки томонидан ёки бир томонидан ноллари кесилган ёки ноллари тўлдирилган) англатади:


. (16.18)