To’la differensial tenglamalar

“To’la differensial tenglamalar” mavzusi bo‘yicha tarqatma material



tenglama berilgan bo’lsin.
Agar differensiallanuvchi U(x,y) funksiya mavjud bo’lib,

tenglik bajarilsa, (4)-tenglamaga to’liq differensialli tenglama deyiladi.
To’liq differensiallanuvchi tenglama tenglamaga teng kuchli va uning yechimi
D soha bir bog’lamli soha bo’lib, bu sohada va hosilalar mavjud va uzluksiz bo’lsin. (4)-tenglama to’liq differensiallanuvchi tenglama bo’lishi uchun , shart bajarilshi yetarli va zarurdir.
Differensial tenglamaning umumiy integralini quyidagi formulalarning birortasi yordamida aniqlash mumkin:


bu yerda ixtiyoriy nuqta. Agar maxsusmas nuqta bo’lsa, u holda differensial tenglama yechimining mavjudligi va yagonalik nuqtasi mavjud bo’ladi.
Koshi masalasining yechimi esa

formulalarning birortasi yordamida aniqlanadi.
24 misol.

bo’lganligi sababli berilgan tenglama to’liq differensialli tenglamadir.Shunday funksiyani topish kerakki uning to’liq differensiali berilgan tenglamaning chap tomoniga teng bo’lsin, ya’ni u(x,y) uchun quyidagi shartlar o’rinli bo’lsin:

bu sistemaning birinchi tenglamasini x bo’yicha integrallaymiz, bu holda y o’zgarmas deb qaraladi. Integrallash natijasida hosil bo’lgan o’zgaruvniga – ni qo’shish kerak (integrallashni ikkinchi tenglamadan ham boshlash mumkin, bu holda o’zgarmas o’rniga – ni qo’shish kerak).

bu ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’yib – ni topamiz

yoki
_.
Demak va berilgan tenglamaning umumiy integrali quyidagicha bo’ladi

Agar berilgan tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lsa, uning umumiy integralini yuqorida keltirilgan umumiy integralni topish formulalarining birortasini qo’llab topish mumkin.
1-misol.
Tenglamani to’liq differensialli bo’lish shartini tekshiramiz.

Demak, bu tenglama to’liq differensialli ekan.
deb, olamiz va umumiy integralni formula bo’yicha topamiz:

yoki bu yerdan tenglamani umumiy integralini aniqlaymiz: .
Ko’rsatma. To’liq differensialli tenglamani integrallash uchun gruppalash usulini qo’llab, xar bir gruppada to’liq differensial hosil qilib tenglamaning yechimini topish mumkin. Yuqoridagi misolda

yoki