2. turg‘unlik tushunchasi

2.TURG‘UNLIK TUSHUNCHASI
Aytaylik, ushbu
, (1.1)
(1.2)
Koshi masalasining yechimi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. Bu yerda



1-ta’rif. Agar ixtiyoriy soni uchun, shunday soni topilib,
(1.3)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi har bir uchun quyidagi
(1. )
(1. )
Koshi masalasining , yechimi mavjud bo‘lib, ushbu
(1.4)
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda yechim Lyapunov ma’nosida turg‘un deyiladi.


2-ta’rif. Agar , yechim
1) Lyapunov ma’nosida turg‘un;
2) Ushbu munosabat o‘rinli bo‘lsa, unga asimptotik turg‘un yechim deyiladi.
Berilgan (1.1) differensial tenglamalar sistemasi yechimining turg‘unligini tekshirish masalasi, uning nol, ya’ni yechimining turg‘unligini tekshirish masalasiga keltirish mumkin. Buning uchun
(1.6)
almashtirishdan foydalanamiz. Bu almashtirish natijasida (1.1) differensial tenglama
(1.7)
ko‘rinishni oladi. Bunda ushbu

munosabatning bajarilishini inobatga olsak, (1.7) tenglik quyidagi
(1.8)
ko‘rinishga keladi. Berilgan (1.1) differensial tenglamaning yechimi (1.6) almashtirish natijasida (1.8) tenglamaning nol yechimiga o‘tadi. Endi, (1.8) tenglamani
(1.9)
ko‘rinishdayozamiz. Buholda yechimga, ya’ni nuqtaga (1.9) differensialtenglamalarsistemasiningmuvozanatnuqtasideyiladi.
Chunki .
Turg‘unlik tushunchasi (1.9) differensial tenglamalar sistemasining muvozanat nuqtasiga, ya’ni yechimga nisbatan quyidagicha talqin qilinadi.
3-ta’rif. Agar soni uchun shunday soni topilib,

tengsizlikni qanoatlantiruvchi har bir uchun (1.9) sistemaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi , yechimi
,
bahoni qanoatlantirsa, u holda yechim, ya’ni muvozanat nuqta Lyapunov ma’nosida turg‘un deyiladi.
4-ta’rif. Agar yechim (muvozanat nuqta) quyidagi:
1). Lyapunov ma’nosida turg‘un;
2).
shartlarni qanoatlantirsa, muvozanat nuqta asimptotik turg‘un deyiladi.
Yuqoridagita’riflarda belgivektorfunksiyaningnormasinianglatadi, ya’ni
Ushbu

differensial tenglamaning yechimini turg‘unlikka tekshiring.
Yechish. Berilgan differensial tenglamani

ko‘rinishda yozib olamiz va uning umumiy yechimini topamiz:
.
Bundan tashqari ham berilgan differensial tenglamaning yechimidan iborat bo‘ladi. Endi boshlang‘ich shartga mos keluvchi yechimni aniqlaymiz:
.
Berilgan differensial tenglamaning yechimini turg‘unlikka tekshirishda, ushbu tengsizlikning bajarilishidan bahoning kelib chiqishini ko‘rsatish lozim. Ammo, qaralayotgan misolda bo‘lganda bo‘ladi. Shuning uchun da intiladi. Bu holda yechim turg‘un bo‘lmaydi.