1. Variatsiyaning xossalari

1. Variatsiyaning xossalari

Fuksiyalarni tekshirishda uning differensiali muhim rol o’ynaganidek funksionallarni tekshirishda ham variatsiya muhim o’rin tutadi.

Funksiyaning differensialini va funksionalning variatsiyasini boshqa, deyarli teng kuchli ta’rifini berish mumkin. O’zgaruvchi larda hamda fiksirlangan va larda funksiyaning qiymatini qaraymiz. da funksiyaning orttirma qiymatini, ya’ni qiymatni hosil qilamiz, da esa funksiyaning ustidagi qiymatini hosil qilamiz. funksiaydan bo’yicha olingan hosilaning dagi qiymati funksiyaning nuqtadagi differensialiga tengligini tekshirish qiyin emas. Haqiqatdan ham, murakkab funksiyaning differensiallash qoidasiga ko’ra

Ko’p ozgaruvchili

funksiyaning differensialini ham yuqoridagidek usulda hosil qilish mumkin. Buning uchun

funksiadan bo’yicha hosila olamiz va dagi qiymatini topamiz. Haqiqatdan ham,

ko’rinishdagi yoki undan murakkabroq, bir nechta funksiyaga bog’liq funksionallarning yoki ko’p o’zgaruvchili funksiyaga bog’liq funksionallarning variatsiyasini ham funksionaldan boyicha olingan hosilaning dagi qiymati sifatida aniqlash mumkin. Haqiqatdan ham, agar funksional orttirmaning bosh chiziqli qismi ma’nosida variatsiyaga ega bo’lsa, u holda uning orttirmasi

ko’rinishga ega. funksionaldan boyicha olingan hosilaning dagi qiymati


bu yerda funksionalning chiziqlilik hususiyatidan, yani

tenglikdan va

limitdan foydalaniladi, chunki da tenglik bajariladi.
Demak, agar funksional orttirmaning bosh chiziqli qismi ma’nosida variatsiyaga ega bo’lsa, u holda parametr bo’yicha hosila argumentining boshlang’ich qiymati ustidagi qiymati ma’nosida ham variatsiyaga ega bo’ladi.
Variatsiyaning ikkinchi ta’rifi birinchi ta’rifidan ko’ra bir muncha kengroq, ya’ni shunday funksionallar mavjudki ularning chiziqli bosh qismini ajratib olib bo’lmaydi ammo, ikkinchi ta’rif ga ko’ra variatsiyasi mavjud.

funksiyaning differentsiali funksiyadan boyicha olingan hosilaning nuqtadagi qiymatiga teng.

funksionalning egri chiziq ustidagi variatsiyasi funksiya boyicha olingan hosilaning nuqtadagi qiymatiga teng.