To’la differensial tenglamalar

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

8. 6-ilova
“To’la differensial tenglamalar” mavzusi bo‘yicha mustaqil ish uchun savollar
Quyidagi differensial tenglamalarni umumiy yechimini toping?


1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

“Integrallovchi ko’paytuvchi va uni topish” mavzusi bo‘yicha tarqatma material

Ushbu
(1)

tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to‘la differensialli bo‘lmasin. Ba’zan holda shunday funksiya tanlab olish mumkin bo‘ladiki, tenglamaning barcha hadlarini ga ko‘paytirishda tenglamani chap tomoni biror funksiyaning to‘la differensialli bo‘lib qoladi.
Shu usul bilan hosil qilingan tenglamaning umumiy integrali dastlabki tenglamaning umumiy yechimi bilan bir xil bo‘ladi: funksiya (1) tenglamaning integrallovchi ko‘paytuvchisi deyiladi. Har qanday U(x,y)=C umumiy integralga ega bo‘lgan (1) differensial tenglama uchun integrallovchi ko‘paytuvchi mavjud, biroq bu uni topish oson degan so‘z emas.


Teorema. Ushbu
(2)
shartning bajarilishi (1) differensial tenglamaning funksiyaga bog‘liq bo‘lgan integrallovchi ko‘paytuvchisining mavjudligi uchun yetarli va zaruriy shart, shu bilan birga
(3)
bo‘ladi.
Ba’zi xususiy hollarda, jumladan, integrallovchi ko‘paytuvchini faqat x ga, y ga, xy ga, x+y ga, x²+y ga, x²+y² ga va h.k. bog‘liq deb qarab, (5.1) tenglamani integrallash mumkin.
Masalan, a) , ya’ni bo‘lsin, unda va (2) ifoda soddalashib, quyidagi ko‘rinishga keladi:
(4)
Demak,
(5)

shunday qilib, agar ifoda faqat x ning funksiyasi bo‘lsa, u holda x ga bog‘liq bo‘lgan integrallovchi ko‘paytuvchi mavjud bo‘ladi va u (5) formula bilan aniqlanadi.