Tizimlarning matematik modellari qurilishiga asosiy yondashuvlar

6. Jismoniy tizimlar va jarayonlarni modellashtirish
Isaak Nyuton davridan (XVII - XVIII asrlar) fizika fani matematik modellashtirish bilan uzviy bog'liqdir. I. Nyuton mexanikaning asosiy qonunlarini, universal tortishish qonunini kashf etdi, ularni matematika tilida tasvirlab berdi. I. Nyuton (G. Leybnits bilan birga) fizikaning matematik apparati asosiga aylangan differentsial va integral hisobni ishlab chiqdi. Keyingi barcha fizik kashfiyotlar (termodinamikada, elektrodinamikada, atom fizikasida va boshqalarda) matematik tilda tasvirlangan qonunlar va tamoyillar ko'rinishida, ya'ni. matematik modellar shaklida.
Aytishimiz mumkinki, har qanday jismoniy muammoning nazariy echimi matematik modellashtirish... Biroq, masalani nazariy jihatdan hal qilish imkoniyati uning matematik modelining murakkablik darajasi bilan chegaralanadi. Uning yordami bilan tasvirlangan jismoniy jarayon qanchalik murakkab bo'lsa, matematik model shunchalik murakkab bo'ladi va hisob -kitoblar uchun bunday modeldan foydalanish muammoli bo'ladi.
Eng oddiy vaziyatda muammoning echimini "qo'lda" analitik tarzda olish mumkin. Amaliy muhim holatlarning ko'pida modelning matematik murakkabligi tufayli analitik yechim topish mumkin emas. Bunday holda, foydalaning raqamli usullar muammolarni samarali hal qilish faqat kompyuterda mumkin. Boshqacha aytganda, murakkab matematik modellarga asoslangan fizik tadqiqotlar tomonidan amalga oshiriladi kompyuter matematik modellashtirish... Shu munosabat bilan, XX asrda an'anaviy fizikani nazariy va eksperimental bo'linish bilan bir qatorda yangi yo'nalish - "hisoblash fizikasi" paydo bo'ldi.
Kompyuterda fizik jarayonlarni o'rganishni hisoblash tajribasi deyiladi. Shunday qilib, hisoblash fizikasi kompyuterda virtual jismoniy tajribani amalga oshirish orqali nazariy fizika va eksperimental fizika o'rtasida ko'prik ochadi. Hisoblash natijalarini qayta ishlashda kompyuter grafikasidan foydalanish bu natijalarning ko'rinishini ta'minlaydi, bu ularni tadqiqotchi tomonidan idrok etish va talqin qilishning eng muhim shartidir.
Jismoniy jarayonni matematik modellashtirishga misol
Mexanikaning asosiy qonuni Nyutonning ikkinchi qonunidir, u jismga ta'sir etuvchi kuch, uning massasi va kuch ta'siridan kelib chiqadigan tezlanish bilan bog'liq. Maktab fizikasida bu qonun quyidagi shaklda ifodalanadi:
Bu kuch va massa doimiy qiymatlar ekanligini taxmin qiladi. Bunday holda, tezlanish ham doimiy bo'ladi. Shunday qilib, tenglama (1) doimiy kuch ta'sirida doimiy massaga ega bo'lgan tananing bir xil tezlashtirilgan harakatini modellashtiradi.
Bunday modelning qo'llanilishi cheklangan. O'zgaruvchan massali va o'zgaruvchan kuchga ega jismlarning harakatini hisoblash uchun uni ishlatib bo'lmaydi. Masalan, raketaning uchishi paytida uning massasi yoqilg'ining yonishi tufayli kamayadi, ya'ni. massa vaqt funktsiyasidir: m(t). Natijada tezlanish ham o'zgaruvchan bo'ladi va matematik model o'zgaradi:
Shuni hisobga olaylikki, tezlanish tezlikning hosilasidir ( v) va vaqt o'tishi bilan massa o'zgarishi funktsiyasini tavsiflang (chiziqli bo'lsin); biz quyidagi matematik harakat modelini olamiz:
(2)
Bu yerda m 0 - raketaning dastlabki massasi, q(kg / s) - yonilg'i yonish tezligini aniqlaydigan parametr. (2) tenglama - chiziqli algebraik tenglamadan (1) farqli o'laroq, differentsial tenglama. Matematik model murakkablashdi! (2) tenglamani yechish (1) ga qaraganda ancha qiyin. Vaqt o'tishi bilan kuch o'zgarishi ehtimolini ham hisobga olsak F(t) (ishga tushirish paytida raketa dvigatelining tortish kuchi o'zgaruvchan), keyin model yanada murakkablashadi:
(3)
Jismlar atmosferada (yoki suyuq muhitda) harakat qilganda, muhitning ishqalanish kuchining qarshiligini hisobga olish kerak. Ishqalanish kuchi ikkita komponentdan iborat: tana tezligining birinchi kuchiga mutanosib va ​​uning kvadratiga mutanosib. Endi harakat tenglamasi quyidagicha bo'ladi:
, (4), (5)
Bu yerda k 1 va k 2 - empirik koeffitsientlar. Tenglama (5) tezlikni joy almashish bilan bog'laydi. Model (4) - (5) jismonan real holatga yaqinlashdi, lekin matematik nuqtai nazardan ancha murakkablashdi. Undan foydalanib, siz amalda muhim savollarga javob olishingiz mumkin. Masalan: berilgan F(t) raketaning birinchi kosmik tezligiga qancha va qanday balandlikda yetishini aniqlang. Yoki teskari muammoni hal qiling: raketa ma'lum balandlikda birinchi kosmik tezlikka yetishi uchun dvigatelning harakat kuchi qanday bo'lishi kerak? Agar biz koeffitsientlar ekanligini ham hisobga olsak k 1 va k 2 - o'zgaruvchan miqdorlar, chunki ular balandlik bilan kamayadigan atmosfera havosining zichligiga bog'liq, (4) - (5) matematik model ancha murakkablashadi. Yuqorida keltirilgan muammolarning bunday modeliga asoslangan yechim sonli usullar va kompyuterdan foydalanishni talab qiladi.
Raqamli usullarni qo'llash
Raqamli usullar har qanday matematik masalaning echimini arifmetik hisoblarga kamaytiradigan usullar... Raqamli hal qilish usulining qo'llanilishini raketa parvozi muammosidan ko'ra mexanikaning oddiy masalasi misolida ko'rsatamiz. Doimiy massali jismning erkin tushishi muammosini ko'rib chiqing m doimiy tortishish kuchi ta'siri ostida. Havo qarshiligini hisobga olgan holda harakat tenglamalari (yuqorida aytib o'tilgan) quyidagicha:
, (6)
Bu yerda v tezlik vektorining vertikal komponenti hisoblanadi. Tananing er ustidagi boshlang'ich balandligi bo'lsin s 0, va boshlang'ich tezligi v 0 .
Keling, yiqilgan jismning harakatini hisoblash uchun Eyler usuli deb nomlangan usulning qo'llanilishini ko'rsataylik. Hisoblash dastlabki vaqtdan boshlab amalga oshiriladi t= 0 kichik cheklangan vaqtli qadam bilan
(n = 0, 1, 2, …). (8)
(7) tenglamaga o'xshash yondashuvni qo'llagan holda, tushayotgan jismning vaqt o'tishi bilan joy almashtirishini hisoblash uchun Eyler usuli formulasini olamiz:
Tezlik va joy almashishning boshlang'ich qiymatlariga ega bo'lgan holda va (8), (9) formulalar yordamida qiymatlarni bosqichma -bosqich hisoblash mumkin. v va s ketma -ket vaqtlarda. Bu jarayonni dasturlash oson, olingan natijalar raqamli jadval ko'rinishida ko'rsatiladi va grafik ko'rinishida taqdim etiladi.
Natijalarni tahlil qilish va talqin qilish
Rasmda tananing ma'lum bir parametrlar to'plamiga o'z vaqtida tushish tezligining raqamli bog'liqligi grafik ishlov berish natijasi ko'rsatilgan. m, k 1 va k 2 .
Havo qarshiligini hisobga olgan holda tushish tezligining o'z vaqtida bog'liqligi
Havo qarshiligini hisobga olmagan holda olinadigan chiziqli tezlik o'zgarishiga qaramlik bog'liq emas. Havo qarshilik kuchining tortishish kuchiga yaqinlashishi jarayonida tezlik doimiy qiymatga etadi. Agar ular teng bo'lsa, harakat bir xil bo'ladi.
E'tibor bering, tezlikning barqarorlik chegaraviy qiymati raqamli usullarga murojaat qilmasdan analitik tarzda hisoblanishi mumkin. Formulada tenglashtirish (6) dv / dt(tezlanish) nolga teng bo'lsa, biz barqaror holat tezligi teng bo'ladi

Bu modelga asoslanib, masalan, shartni quyidagicha shakllantirish orqali optimallashtirish masalasini hal qilish mumkin: parashyutchi ma'lum balandlikdan sakraydi va parashyutni ochmasdan uchadi; Uchish paytida xavfsiz tezlikka ega bo'lish uchun u qanday balandlikda (yoki qaysi vaqtdan keyin) parashyutni ochishi kerak? Yana bir muammo: sakrashning balandligi parashyutning kesma maydoni bilan qanday bog'liq? k 2) qo'nish tezligini xavfsiz saqlash uchun?
Ta'riflangan raqamli usuldan foydalanganda muhim muammo - vaqt qadamining o'lchamini tanlash t... Olingan natijalarning to'g'riligi va hisoblash tartibining barqarorligi shu qiymatga bog'liq. Bu muammolarning hammasi "Metodik usullar yoki hisoblash matematikasi" nomli matematik fanda o'rganiladi.
Talabalarni informatika fanining asosiy kursida fizik jarayonlarning kompyuter modellari bilan tanishtirish misollar darajasida bo'lishi mumkin. Rasmda to'pdan o'q otilgan raketaning uchishini simulyatsiya qiladigan ko'rsatma qo'llanmasining namunasi ko'rsatilgan. Talabalarning vazifasi - bu raketaning nishonga tegishini ta'minlaydigan parametrlarni (boshlang'ich tezlik va olov burchagi) tanlash (bu dastur raqamli ta'lim resurslarining federal to'plamiga kiritilgan). Boshqa ta'lim manbalarida ham shunga o'xshash o'zgarishlar mavjud.