Thesis · April 2020 doi: 10. 13140/RG

Если в треугольнике две биссектрисы равны, то такой треугольник 
равнобедренный. Докажите это. 
Решение
. Выполнив чертеж и отметив на нем исходные данные учащиеся 
переходят к обсуждению. 

---

 ЗАМОНАВИЙ УЗЛУКСИЗ ТАЪЛИМ СИФАТИНИ ОШИРИШ: ИННОВАЦИЯ ВА ИСТИҚБОЛЛАР
 
447 
ХАЛҚАРО МИҚЁСИДАГИ ИЛМИЙ-АМАЛИЙ КОНФЕРЕНЦИЯ МАТЕРИАЛЛАРИ
Пусть АА
1
и ВВ
1
биссектрисы треугольника АСВ, причем АА
1
=ВВ
1
. Чтобы 
доказать требуемое, очевидно, достаточно доказать, что FС = ВС или 

А=

В. Но как 
это сделать? Один из учащихся предлагает провести отрезки А
1
А
2
и В
1
В
2
параллельно 
АВ и доказать, что эти отрезки совпадают, т.е. А
2

В
1
и А
1

В
2
.
Тогда отсюда будет следовать, что четырехугольник АВ
1
В
2
В -равнобочная 
трапеция (так как ее диагонали АА
1
= АВ
2
и ВВ
1
=ВА
2
равны по условию: АА
1
= ВВ
1
), а 
следовательно, 

АВ
1
АВ =

В
2
ВА, а это и означает, что треугольник АСВ - 
равнобедренный. Итак, докажем, что А
1
А
2
= В
1
В
2
. 
Допустим противное; пусть 
2
1
2
1
В
В
А
А

и пусть, для определенности, отрезок 
А
1
А
2
расположен ближе к основанию АВ, чем В
1
В
2
. 
Тогда В
1
В
2 

А
2
А
1
. Доказав равенство углов 

В
2
В
1
В= 

В
1
ВА (как внутренние 
накрест лежащие углы при параллельных прямых), и учитывая при этом, что 

В
1
ВА = 

В
2
ВВ
1
=
АВС

2
1
, учащиеся приходят к выводу, что 

В
1
В
2
В равнобедренный (так как 
в этом треугольнике 

В
2
В
1
В= 

В
2
ВВ
1
). Аналогично доказываем, что треугольник 
АА
2
А
1 
также равнобедренный, причем АА
2
= А
2
А
1
. Итак, 
В
В
В
2
1

и 
1
2
А
АА

- два 
равнобедренных треугольника с равными основаниями АА
1
и ВВ
1
. Так как боковые 
стороны треугольника В
1
В
2
В меньше, чем в треугольнике АА
2
А
1
(ведь А
1
А
2
> В
1
В
2
), то 

В
1
В
2
В > 

АА
2
А
1
и, значит, 

В
2
ВВ
1
< 

А
2
АА
1
. Отсюда мы заключаем, что 

СВА < 

САВ, а следовательно, в трапеции АА
2
А
1
В имеет место соотношение 
АА
2
< ВА
1
. Но тогда А
2
А
1
= АА
2
< ВА
1
< ВВ
2
= В
1
В
2
, что противоречит 
неравенству А
2
А
1
> В
1
В
2
.Полученное противоречие показывает, что А
2
А
1
=В
1
В
2
, т.е. 
отрезки А
2
А
1
и В
1
В
2
совпадают, а следовательно, как отмечалось выше, 
четырехугольник АВ
1
В
2
В - равнобочная трапеция, а поэтому треугольник АСВ - 
равнобедренный, что и требовалось доказать. 
После этого учитель рекомендует попытаться решить эту задачу другим способом. 
Некоторые ученики предлагают решать эту задачу, выразив длину биссектрисы через 
стороны треугольника. Предложение принимается. Возникают еще два способа решения 
этой задачи.