Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

5.6. Parametrli gruppadan foydalanishga asoslangan nosimmetrik shifrlar
Ochiq kalitli kriptoalgoritmlar asosini tashkil etuvchi yetarli katta sonlarni tub ko‘paytuvchilarga yoyish, xarakteristikasi yetarli katta bo‘lgan chekli maydonlarda diskret logarifmlarni hisoblash, EEChlarda rasional koordinatali nuqtalarni topish, ularni qo‘shish hamda tartibini aniqlash masalalarini yechish murakkabliklari bilan bog‘liq holda parametrli gruppa amallaridan foydalanish yangi nosimmetrik algoritmlar yaratish usullariga olib keladi. Parametrli gruppaning ushbu a®b =abaRbmod p
ko‘rinishdagi amal asosida shakllangan parametrli gruppa 3-bo‘limda bayon etilgan.
Chekli maydonning ava b - elementlari uchun kiritilgan amalni turlicha aniqlash mumkin. Kiritilgan amalni shifrlash algoritmlarida ochiq kalit va ochiq ma’lumot yoki oraliq natija bloki ustida bajarilishini hisobga olib hamda deshifrlash algoritmlarida shifrma’lumot va maxfiy kalit bloki qiymatlari ustida bajariladigan akslantirishlarga tatbiq qilinishini nazarda tutib, kiritilgan amal bo‘yicha teskari element mavjud bo‘ladigan qilib aniqlanadi. Xeshlash funksiyasi, oqimli shifrlash, kalitlar generasiyasi algoritmlarida va Feystel tarmog‘i akslantirishlarida kiritilgan amal bo‘yicha teskari elementni topishning rasional usuli yo‘q bo‘ladigan yoki umuman mavjud bo‘lmaydigan qilib aniqlash maqsadga muvofiqdir.
5.6.1. Parametrli shifrlash usuli
Kiritilgan amaldan foydalanib, xarakteristikasi yetarli katta bo‘lgan chekli maydonlarda diskret logarifmlash masalasining murakkabligiga asoslangan nosimmetrik shifrlash algoritmini yaratish masalasini yechish sxemasi [13] da keltirilgan. Parametrli shifrlashda, avvalo tub modul r va hosil qiluvchi gF_p tanlanib, ushbu son R_i  g ^xi mod p hisoblanadi, bu yerda x_i - shaxsiy kalit. So‘ngra a_i ;R_i  -juftlikni ochiq kalit deb qabul qilamiz.
Kriptotizimning j - foydalanuvchisi i - foydalanuvchiga M - ochiq
ma’lumotni shifrlab jo‘natishni quyidagicha amalga oshiradi:
1. Faqat j - foydalanuvchining o‘zigagina ma’lum bo‘lgan biror
k -sonini tasodifiy holda tanlab, R _ (R_i )^k mod p _ g ^kxi mod p - qiymatni hisoblaydi.
2. Shifrlashni a_i ®M =a_i  M  a_i RMmod p=a_i  M  a_i (g ^kxi mod p)Mmod p=w ko‘rinishda amalga
oshirib, shifrma’lumot sifatida С  (w;d  g ^k mod p)- juftlik jo‘natiladi.
Shifrma’lumot С  (w;d  g ^k mod p)ni qabul qilib olgan i -foydalanuvchi deshifrlashni quyidagicha amalga oshiradi:

1. 
   Faqat i - foydalanuvchining o‘ziga ma’lum bo‘lgan x_i - maxfiy
   

kalitdan foydalanib, d ^xi mod p _ g ^kxi mod p _ D - qiymat hisoblanadi.

2. 
   Ochiq a_i - kalitga teskari bo‘lgan element
   

(a_i ) ^\1 =_a_i (1_a_i D)^1 mod phisoblanadi.

3. 
   Ushbu R _ D qiymatning almashtirish amalini bajarib, deshifrlash
   

amalga oshiriladi:
(a_i ) ^\1 ®w=[a_i (1 a_i D)^1 mod p]®[a_i  M  a_i RMmod p] =
=[a_i (1 a_i R)^1 mod p]®[a_i  M  a_i RMmod p] =
 [a_i (1a_i R)^1 ] + [a_i  M(1 a_i R) ] +
[a_i (1 a_i R)^1]R[a_i  M(1 a_i R)](mod p) _
 [a_i (1 a_i R)^1](1+ a_i R) _ [a_i  M(1 a_i R) ]-a_i RM (mod p) _{ }-a_i +a_i +M +a_i RM -a_i RM (mod p ) = M.
Bu keltirilgan nosimmetrik shifrlash algoritmi g‘oyasini saqlab qolgan
holda, shifrlash va deshifrlash jarayonlarini ifodalovchi formulalarda qatnashuvchi parametrlarning matrisalar ko‘rinishida aniqlanishi ular xossalaridan foydalanib kriptografik samaradorlikni oshirish imkoniyatlarini beradi. Quyida aynan shunday masala yechimi haqida so‘z yuritiladi.