Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

5.6.2. Matrisaviy parametrli shifrlash usuli
Avvalo yuqoridagi kabi ushbu:
A_nm ® B_nm = A_nm  B_nm  A_nmR_mnB_nm mod p parametrli ko‘paytirish amali
kiritiladi [23, 69].
5.1-ta’rif. B_nm - matrisa A_nm - matrisaga teskari deyiladi, agarda
A_nm ® B_nm = 0_nm bo‘lsa hamda A_nm - matrisaga teskari bo‘lgan matrisa A_n^\_^1_m deb belgilanadi.
Endi berilgan matrisaga teskari matrisani qanday topishni ko‘rib o‘tamiz.
Agar B_nm - matrisa A_nm - matrisaga teskari bo‘lsa,
C_nm = A_nm ® B_nm = B_nm =0_nm munosabat bajarilishi kerak. Bu munosabatdan ushbu
Cnm  Anm  Bnm  AnmRmnBnm mod p yoki
Cnm  Anm ( Inn  AnmRmn )Bnm mod p yoki Bnm  ( Inn  AnmRmn )1
(C_nm  A_nm )mod p
taqqoslamaga ega bo‘lamiz. Bu yerda C_nm =0_nm bo‘lganda B_nm - matrisa A_nm matrisaga teskari bo‘lishini hisobga olsak
Bnm  ( Inn  AnmRmn )1 (Cnm  Anm )mod p=( Inn  AnmRmn )1 (- Anm )mod p= An\1m bo‘lishi kelib chiqadi.
Matrisaviy parametrli shifrlash usulida, avvalo t-foydalanuvchi tomonidan tub modul r, hosil etuvchi g elementlar tanlanadi.
Ushbu sonlar R_il^t  g ^xilt mod p hisoblanadi, bu yerda x_il^t - noma’lumlar (baytlardan iborat bo‘lishi mumkin), i=1,…,m ; l=1,…,n. So‘ngra A_n^t_m;R_m^t _n  juftlikni t - foydalanuvchining ochiq kaliti, x_il^t - noma’lumlarni esa maxfiy kalit elementlari deb e’lon qilinadi.
Kriptotizimning j - foydalanuvchisi t - foydalanuvchiga M _nm – ochiq ma’lumotni shifrlab jo‘natishni quyidagicha amalga oshiradi:

1. 
   Faqat j - foydalanuvchining o‘zigagina ma’lum bo‘lgan biror k -sonini tasodifiy holda tanlab, R  R^t _mn  (R_il^t )^k mod p  g ^kxilt mod p -matrisa
   

elementlari hisoblab olinadi.

2. 
   Shifrlashni Antm ®M nm = Antm  M nm  AntmRntmM nm mod p=wnm
   

ko‘rinishda amalga oshirib, shifrma’lumot sifatida С_nm  (w_nm;d  g ^k mod p) - juftlik jo‘natiladi.
Shifrma’lumot С  (w;d  g ^k mod p)ni qabul qilib olgan t - foydalanuvchi deshifrlashni quyidagicha amalga oshiradi:

3. 
   Faqat t - foydalanuvchining o‘ziga ma’lum bo‘lgan x_il^t - maxfiy
   

kalitdan foydalanib, d ^xilt mod p _ g ^kxilt mod p _ D_il^t - qiymatlar hisoblanib, D_mn - matrisa hosil qilinadi.

4. 
   Ochiq A_n^t_m - kalitga teskari bo‘lgan element
   

(Antm )\1=(Inn  AntmDmt n )1(Antm )mod p hisoblanadi.

5. 
   Ushbu R _ D_n^t_m qiymatning almashtirish amalini bajarib, deshifrlash
   

amalga oshiriladi:
(Antm ) \1 ®wnm =(Inn  AntmDmt n )1 (Antm ) ®(Antm  M nm  AntmRmt nM nm )mod p=
=(Inn  AntmRmt n )1(Antm ) +(Antm  M nm  AntmRmt nM nm )+
+(Inn  AntmRmt n )1(Antm ) Rmt n (Antm  M nm  AntmRmt nM nm )(mod p ) =
=(Inn  AntmRmt n )1 (Antm ) (Imm  Rmt n Antm )  Antm  (Inn  AntmRmt n )M nm 
(Inn  AntmRmt n )1(Antm )Rmt n (Inn  AntmRmt n )M nm (mod p).
Bu oxirgi tenglik ifodasidagi matrisalarning faqat diagonal elementlarining hammasi nol bo‘lmay, boshqa barcha elementlari nollardan iborat bo‘lsa, u holda matrisalar ko‘paytmalari qatnashgan hadlarda ular o‘rinlarini almashtirsa ham tenglik o‘zgarmaydi. Ana shunday matrisalar uchun ushbu tenglik o‘rinli:
(Antm )\1®wnm =(Inn  AntmRmt n )1(Antm ) (Imm  Rmt n Antm )  Antm 
 (Inn  AntmRmt n )M nm 
+(Inn  AntmRmt n )1 (Antm )Rmt n (Inn  AntmRmt n )M nm (mod p) =
= (Antm )(Inn  AntmRmt n )1 (Imm  Rmt n Antm )  Antm  (Inn  AntmRmt n )M nm 
+(Antm )Rmt n (Inn  AntmRmt n )1 (Inn  AntmRmt n )M nm (mod p) =
=  Antm  Antm  M nm  AntmRmt nM nm  AntmRmt n M nm (mod p) =M nm .
Umuman olganda bu tenglik ifodalarida qatnashuvchi matrisalar kommutativlik xossasiga ega bo‘ladigan qilib tanlab olinsa, yuqorida keltirilgan deshifrlash jarayoni ijobiy amalga oshiriladi.
5.6.3. Elliptik egri chiziqlardan foydalanishga asoslangan shifrlash usuli
Quyida tanlangan elliptik egri chiziqning rasional nuqtalari ustida amallar bajarish masalasining murakkabligiga asoslangan nosimmetrik shifrlash algoritmini yaratish masalasini yechishga to‘xtalib o‘tiladi.
Mazkur usul bo‘yicha ushbu nuqta R_mn  R_il [х_il ]G koordinatalari, tanlab
olingan elliptik egri chiziqqa tegishli bo‘lgan G -rasional koordinatali yetarli katta tartibga ega bo‘lgan va barcha foydalanuvchilarga ma’lum generator nuqta orqali hisoblanadi, bu yerda x_il -noma’lumlar. So‘ngra A_nm;R_mn  - juftlik ochiq kalit deb e’lon qilinadi, x_il -noma’lumlar esa shaxsiy kalit sifatida olinadi.
Kriptotizimning j -foydalanuvchisidan t - foydalanuvchiga M–ochiq
ma’lumotni shifrlab jo‘natish quyidagicha amalga oshiriladi:
1. Faqat j -foydalanuvchining o‘zigagina ma’lum bo‘lgan biror k - sonini tasodifiy holda tanlab, elliptik egri chiziqda
R [k]R_m^t _n [k][x_il^t ]G [kx_il^t ]G =(x_il^t (G), y_il^t (G))-nuqtalar topiladi va bu nuqtalarning
Ox o‘qidagi x_il^t (G)-koordinatalari (yoki Oy o‘qidagi y_il (G)-koordinatalari) R_il^t  x_il^t (G) (yoki R_il^t  y_il^t (G) yoki R_il^t  f (x_il^t (G), y_il^t (G)) ) deb qabul qilinadi.
Shifrlashni Antm ®M nm = Antm  M nm  AntmRntmM nm mod p=wnm ko‘rinishda
amalga oshirib, shifrma’lumot sifatida С_nm  (w_nm;d [k]G) -juftlik jo‘natiladi.
Shifrma’lumot С_nm  (w_nm;d [k]G) ni qabul qilib olgan t -foydalanuvchi tomonidan deshifrlash quyidagicha amalga oshiriladi:

2. 
   Faqat t - foydalanuvchining o‘ziga ma’lum bo‘lgan x_il^t - maxfiy kalit
   

elementlaridan foydalanib [x_il^t ]d  [x_il^t ][k]G  [x_il^t k]G  D_m^t _n - matrisa hisoblab olinadi.

2. 
   Ochiq A_n^t_m - kalitga teskari bo‘lgan matrisa
   

(Antm )\1=(Inn  AntmDmt n )1(Antm )mod p hisoblanadi.

2. 
   Ushbu R _ D_n^t_m qiymatni almashtirish amalini bajarib, deshifrlash
   

jarayoni 5.6.2-banddagi kabi amalga oshiriladi.
5.6.4. RSA shifriga o‘xshash parametrli shifrlash usuli
Quyida yetarli katta sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratish masalasining murakkabligiga asoslangan nosimmetrik shifrlash algoritmi yaratish masalasini yechish keltirib o‘tiladi [1].
Yetarli katta va maxfiy tutilishi kerak bo‘lgan p va q - tub sonlari tanlab olinib, n _ pq hisoblanadi. Ushbu e_t d_t 1mod_(n) taqqoslamadan (bu yerda
(n)  ( p 1)(q 1)- maxfiy) e_t -parametrga biror qiymat berib e_t d_t 1mod(p 1)(q 1) munosabatni qanoatlantiruvchi d_t - sonini topish mumkin. So‘ngra A_nm;e_t ;n - uchlikni ochiq kalit, (d_t ;_(n)) - juftlikni shaxsiy deb, shifrlash va deshifrlash jarayonlari quyidagicha amalga oshiriladi.
Kriptotizimning j - foydalanuvchisi tomonidan t - foydalanuvchiga M _nm –
ochiq ma’lumotni shifrlab jo‘natish qo‘yidagicha amalga oshiriladi:

1. 
   Faqat j - foydalanuvchining o‘zigagina ma’lum bo‘lgan biror
   

k_il^j -sonlarini tasodifiy holda tanlab, R _ R_m^j_n  (k_il^j )mod n - qiymatlar hisoblanadi
(bu erda k_il^j  pva k_il^j  q ).
Shifrlash 5.6.2-banddagi kabi
Antm ®M nm = Antm  M nm  AntmRmjnM nm mod p=wnm ko‘rinishda amalga oshirilgach, shifrma’lumot sifatida С_nm  (w_nm;d_m^j_n  (k_il^j )^et modn) - juftlik jo‘natiladi.

2. 
   Shifrma’lumot С  (w;d_m^j_n  (k_il^j )^ei modn)ni qabul qilib olgan t foydalanuvchi tomonidan deshifrlash quyidagicha amalga oshiriladi:
   

1. 
   Faqat t - foydalanuvchining o‘ziga ma’lum bo‘lgan d_t - maxfiy kalitdan
   

foydalanib (d_m^j_n )^dt modn  (k_il^j )^etdt modn  (k_il^j )modn  D_m^j_n -matrisa hisoblanadi.

2. 
   Ochiq A_n^t_m -kalitga teskari bo‘lgan matrisa
   

(Antm )\1=(Inn  AntmDmt n )1(Antm )mod p hisoblanadi.

3. 
   Ushbu R _ D_n^t_m qiymatni almashtirish amalini bajarib, deshifrlash
   

jarayoni 5.6.2-banddagi kabi amalga oshiriladi.
Yuqorida keltirilganlardan parametrli gruppa amallari xususiyatlari mavjud murakkabliklarni kompozisiyalari negizida takomillashgan yangi nosimmetrik algoritmlar yaratish imkoniyatlarini berishi ayon bo‘ladi.