Теория вероятности и математическая статистика

Трехмерная модель корреляции

Предполагается, что совместное распределение анализируемых случайных переменных (признаков) X, Y, Z подчинено трехмерному нормальному закону.

Задачи трехмерного корреляционного анализа

• 
  Оценка тесноты связи между произвольными двумя переменными, включенными в анализ, при фиксировании или исключении влияния третьей переменной.
  
• 
  Оценка тесноты связи каждой из рассматриваемых переменных с совокупностью остальных переменных.
  
• 
  Проверка значимости коэффициентов связи.
  
• 
  Интервальное оценивание коэффициентов связи.
  
• 
  Построение корреляционной модели и оценка её параметров.
  

Корреляционная матрица

• 
  Начальный этап трехмерного корреляционного анализа количественных признаков состоит в оценке на основе выборочных данных матрицы
  

,
элементы которой есть парные коэффициенты корреляции исходных переменных.

Выборочная корреляционная матрица

В качестве статистического аналога матрицы принимается матрица
,
здесь , , - выборочные парные коэффициенты корреляции.
Свойство корреляционных матриц
Матрицы Q₃, q₃ симметричны относительно главной диагонали.

Частные коэффициенты корреляции

; ; .
Любой частный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами парного коэффициента корреляции, т.к. является коэффициентом корреляции для соответствующего условного двумерного распределения.
Замечание.
В отличие от парного коэффициента корреляции, на величине которого сказывается не только влияние пары переменных друг на друга, но и воздействие третьей переменной, частный коэффициент корреляции позволяет характеризовать тесноту связи между двумя рассматриваемыми признаками в «чистом» виде, исключая влияние других переменных при анализе зависимости.

Выборочные частные коэффициенты корреляции

; ; .
Квадрат частного (выборочного частного) коэффициента корреляции называется частным (соответственно выборочным частным) коэффициентом детерминации.

Множественные коэффициенты корреляции

Условие парной независимости анализируемых случайных переменных является необходимым, но не достаточным условием для обеспечения стохастической независимости этих случайных величин в совокупности, т.е. нулевые значения всех парных коэффициентов корреляции различных переменных данной совокупности не служат в общем случае основанием для вывода об их независимости в целом. Это обстоятельство приводит к необходимости использования при корреляционном анализе помимо парных и частных коэффициентов корреляции также множественных коэффициентов корреляции:
; ; .
Их точечные оценки – выборочные множественные коэффициенты корреляции , , – находятся согласно аналогичным формулам по выборочной корреляционной матрице.
Квадрат множественного (выборочного множественного) коэффициента корреляции называется множественным (соответственно выборочным множественным) коэффициентом детерминации.
Замечание.
По величине множественного коэффициента корреляции делается вывод о тесноте, но не о направлении взаимосвязи.