Теория справедливости, конкуренции и сотрудничества

стр 5

F(s/(1 2 2с)) [ (0,1) если s8 а) , s , s8 а)) 0 , если s # s8 а).

ТАБЛИЦА I

Процент предложений ниже 0,2 и от 0,4 до 0,5
в игре «Ультиматум»

Учеба (Способ оплаты)
Количество наблюдений
Размер ставки (страна)

Процент предложений с

с , 0.2

Процент предложений с 0.4 # s #0.5

Кэмерон [1995]	35	40 000 IDR	0	66
(Все Ss оплачены) Кэмерон [1995]	37	(Английский) 200 000 РДЭ	5	57
(все Ss оплачены) FHSS [1994 год]	67	(Английский) $5 и $10	0	82
(все Ss оплачены )		(США)
Gu ̈ th et al. [1982] (все Ss оплачены)	79	ДМ 4–10 (Германия)	8	61
Хоффман , Маккейб и Смит [1996]	24	$10 (США)	0	83
(Все Ss оплачены )
Хоффман , Маккейб и Смит [1996]	27	$100 (США)	4	74
(все Ss оплачены) Канеман,	115	$10	?	75^а
Кнетч и Талер [1986]		(США)
(20% от Ss оплачено) Рот и др. [1991 год]	116^б	около $10	3	70
(случайная оплата-		(США, Словения,
метод) Слоним и Рот	240^с	Израиль, Япония) SK 60	0.4^д	75
[1997]		(Словакия)

(метод случайной оплаты )
Слоним и Рот [1997]
(метод случайной оплаты )


250^c SK 1500
(Словакия)
8^д 69

Совокупный результат всех исследований^e
875 3,8 71

a. процент равных разделений, b. только наблюдения жнальского периода, c. наблюдения всех десяти периодов,
d. процент предложений ниже 0,25, e. без Канемана, Кнетча и Талера [1986].
Следовательно, оптимальное предложение оферента дается
5 0,5 если b₁ . 0,5 см.

5. 
   с*
   

[ [статья8 а), 0,5] если b₁ 5 0,5
[ (s8(a), s8(a)] если b₁ , 0,5.

Доказательство. Если s $ 0,5, то полезность ответчика от принятия s составляет U₂(s) 5 s 2 b₂(2s 2 1), что всегда положительно для b₂ , 1 и, таким образом, лучше, чем отказ, который дает отдачу 0. Дело в том, что ответчик может достичь равенства, только уничтожив весь излишек, который очень дорого обходится ему, если s $ 0,5; т.е. если неравенство в его пользу. Для s , 0,5, responder принимает оферту только в том случае, если полезность от акцепта, U₂(s) 5 s 2 a₂(1 2 2s), не является обязательной что имеет место только в том случае, если s превышает порог принятия
статья8(а_{) 2}; а₂/(1 1 2а₂) , 0,5.
На этапе 1 оферент никогда не предлагает s . 0.5. Это уменьшило бы его денежную отдачу по сравнению с предложением в размере 5 0,5, которое также было бы принято с уверенностью и которое дало бы совершенное равенство. Если b₁ . 0,5, его полезность строго увеличивается в s для всех s #
0.5. Это тот случай, когда оферент предпочитает делиться своими ресурсами, а не максимизировать собственную денежную отдачу, поэтому он предложит s 5 0,5. Если b₁ 5 0,5, ему просто безразлично между тем, чтобы дать один доллар ответчику и оставить его при себе; т.е. он равнодушен ко всем предложениям s [ [s'(a₂), 0.5]. Если b₁ , 0,5, то оферент хотел бы увеличить свою денежную выплату за счет ответчика. Однако он ограничен порогом принятия ответчика. Если автор предложения прекрасно информирован о предпочтениях респондента, он просто предложит статью8(а₂). Если оферент недостаточно информирован о типе респондента, то вероятность принятия равна F(s/(1 2 2 с)), которая равна единице, если s $ a (1 1 2а) и равны нулю, если s # a/(1 1 a). Следовательно, в данном случае существует оптимальное предложение s [ (s8(a), s8(a)].
ЕСТЬ
В предложении 1 учтены многие из вышеупомянутых фактов. Это показывает, что нет предложений выше 0,5, что предложения 0,5 всегда принимаются, и что очень низкие предложения, скорее всего, будут отклонены. Кроме того, вероятность принятия, F(s/(1 2 2с)), увеличивается в s для s , s8(a) , 0,5. Обратите также внимание, что порог принятия s8(a₂) 5 a₂/(1 1 2a₂) является нелинейным и имеет некоторые интуитивно привлекательные свойства. Она увеличивается и строго вогнута в ₂, и она сходится к 0,5, если ₂'. Кроме того, относительно небольшие значения ₂ уже дают относительно большие пороговые значения. Например, ^{2 5 1}3 ^{подразумевает, что s8(a2) 5 0.2 и a2 5 0.75 подразумевает, что s8(a2) 5}
0.3.
В разделе V мы выходим за рамки предсказаний, подразумеваемых предложением 1. Там мы спрашиваем , есть ли распределение предпочтений

это может объяснить не только основные факты ультиматумной игры, но и факты в рыночных и кооперационных играх, которые будут обсуждаться в следующих разделах.

2. 
   Рыночная игра с конкуренцией предлагающих
   

Общепризнанным экспериментальным фактом является то, что в широком классе рыночных игр цены сходятся к конкурентному равновесию. [Смит 1982; Дэвис и Холт 1993]. Для наших целей интересен тот факт, что сближение с конкурентным равновесием может наблюдаться, даже если это равновесие очень «несправедливо» практически любым мыслимым нарушением справедливости; т.е. если все выгоды от торговли пожинаются одной стороной рынка. Эта эмпирическая особенность конкуренции может быть продемонстрирована в простой рыночной игре, в которой многие ценообразующие продавцы (предлагающие) хотят продать одну единицу товара одному покупателю (ответчику), который требует только одну единицу товара. ^{9 См.}
Такая игра была реализована в четырех различных попытках Рота, Прасникара, Окуно-Фудзивары и Замира [1991]: предположим, что есть n 2 1 предлагающих, которые одновременно предлагают долю s_i [ [0,1], i [ 1, . . . , n 2 1 , ответчику. Ответчик имеет возможность принять или отклонить самое высокое предложение s 5 max_i s_i . Если есть несколько предлагающих предложений, один из них выбирается случайным образом с равной вероятностью. Если ответчик отклоняет s, сделка не происходит, и все игроки получают денежную выплату в размере нуля. Если респондент принимает s, его денежная выплата равна s, и успешный оферент зарабатывает 1 2 s, в то время как неудачники зарабатывают ноль. Если игроки обеспокоены только своими денежными выплатами, эта рыночная игра имеет простое решение: ответчик принимает любые s. 0. Следовательно, для любого s_i # s , 1 , существует e . 0 такой, что предлагающий i может строго увеличить эту денежную выплату, предложив s 1 e , 1. Поэтому любой кандидат на равновесие должен иметь s 5 1. Кроме того, в равновесии предлагающий i, предложивший s_i 5 1, не должен иметь стимула снижать свое предложение. Таким образом, должен быть, по крайней мере, еще один игрок j, который также предложил s_j 5 1. Следовательно, существует уникальная идеальная подигра.

7. 
   Мы намеренно ограничиваем наше внимание простыми рыночными играми по двум причинам: (i) потенциальное влияние неприятия неравенства можно наиболее четко увидеть в таких простых играх; (ii) они допускают явный теоретико-игровой анализ. В частности, в этих играх легко установить идентичность между соревновательным равновесием и результатом подигрыравновесия. Обратите внимание, что некоторые экспериментальные рыночные игры, такие как, например, непрерывный двойной аукцион, разработанный Смитом [1962], имеют такие сложные стратегические пространства, что полный теоретико-игровой анализ еще недоступен. Fили попытки в этом направлении см. Фридман и Раст [1993] и Садри [1998].
   

равновесный результат, при котором по крайней мере два оферента делают предложение одного, а респондент пожинает все выгоды от торговли. ^{10 См.}

Рот и др. [1991] реализовали рыночную игру, в которой девять игроков одновременно предлагали s_i, в то время как один игрок принимал или отклонял s. Были проведены экспериментальные сессии в четырех разных странах. Эмпирические результаты дают достаточно доказательств в пользу приведенного выше предсказания. После примерно шести периодов в каждом эксперименте в каждой из четырех стран был достигнут результат идеального равновесия в подигре. В какой степени наша модель может объяснить это наблюдение?
ПРОПОЗИЦИЯ 2. Предположим, что функции полезности игроков задаются (1). Для любых параметров (a_i, b_i), i [ 1, . . . , n , существует уникальный результат идеального равновесия s ubgame, в котором по крайней мере два оферента предлагают s 5 1, который принимается респондентом.
Формальное доказательство утверждения отнесено к Приложению, но интуиция довольно проста. Обратите внимание, что по тем же причинам, что и в ультиматумной игре, ответчик должен принять любые s $ 0,5. Предположим, что он отвергает «низкое» предложение s ,

5. 
   Это также не может произойти на пути равновесия, так как в этом случае предлагающий i может улучшить свою отдачу, предложив s_i 5 0,5, которая принимается с вероятностью 1 и дает ему строго более высокую отдачу. Следовательно, на пути равновесия s должны быть приняты. Рассмотрим теперь любого равновесного кандидата с s , 1. Если есть один игрок, который предлагает s_i , s, то этот игрок должен был предложить немного больше, чем s. Неравенство в любом случае будет, но, выиграв соревнование, игрок I может увеличить свою собственную денежную отдачу, и он может обратить неравенство в свою пользу. Аналогичный аргумент применим, если все игроки предлагают s i 5 s , 1. Немного увеличив свое предложение, игрок I может увеличить вероятность победы в соревновании с 1/(n 2 1) до 1. Опять же, это увеличивает его ожидаемую денежную отдачу, и это обращает неравенство в сторону других предлагающих в свою пользу. Поэтому s , 1 не может быть частью подигры совершенного равновесия. Следовательно, единственным кандидатом на равновесие является то, что по крайней мере два продавца предлагают s 5 1. Это идеальное равновесие в подигре, так как все продавцы получают выплату 0, и ни один игрок не может изменить этот результат, изменив свое действие. Формальное доказательство в Приложении распространяет этот аргумент на
   

7. 
   Обратите внимание, что в этой игре есть много подигр идеального равновесия. До тех пор , пока два продавца предлагают статью 5 1, любое распределение предложения остальных продавцов совместимо с равновесием.
   

возможность смешанных стратегий. Это расширение также показывает, что соревновательный результат должен быть уникальным равновесным результатом в игре с неполной информацией, где предлагающие не знают функций полезности друг друга.

Предложение 2 дает объяснение того , почему рынки во всех четырехстранах, в которых Roth et al. [1991] провели этот опыт, быстро сошлись к конкурентному результату, хотя результаты ультиматумной игры, которые также были сделаны в этих странах, согласуются с мнением о том, что распределение предпочтений различается между странами. ^{11 См.}

3.