Теория поля Дубограй

Ta'rif 8. Potensialning sathi sirtlari (tekis maydon uchun sath chiziqlari) ekvipotensial yuzalar (chiziqlar) deb ataladi .
E'tibor bering, ekvipotensial sirt (chiziq) va umumiy nuqtadan o'tuvchi vektor chizig'i unda o'zaro ortogonaldir.
13-misol . Maydonning potentsial ekanligini tekshiring. Agar shunday bo'lsa, maydonning potensialini toping, maydonning ekvipotensial chiziqlari va vektor chiziqlarini tuzing. Nuqtadan o'tuvchi vektor va ekvipotensial chiziqlarni tanlang .
Yechim . Maydon butun XOY tekisligida aniqlanadi .
, ;
Potensialning zarur va yetarli shartlari qanoatlantirilganligini tekshirib ko'ramiz: , maydon potentsial.
1. Funksiyani topish uchun sistema tuzamiz: .
Birinchi tenglamadan uni x o'zgaruvchisi ustidan integrallash orqali biz quyidagilarni topamiz:
x ga bog'liq bo'lgan har qanday funksiya bajaradi ). ni topish uchun topilgan funksiyani sistemaning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz :
. Qabul qilingan .
2. Ekvipotensiallik sharti : bu yerdan biz ekvipotensial chiziqlar oilasini olamiz .
Tenglamani kanonik shaklga keltiramiz:
.
Bu giperbolalar oilasi uchun .
bo'lsa , biz chiziqlar tenglamalarini olamiz .
XOY tekisligida ekvipotentsial chiziqlarni quramiz .
3 . Maydonning vektor chiziqlari . Maydon vektor chiziqlarining differensial tenglamasini tuzamiz: .Uni yeching:

Рисунок 7

- giperbola turkumi if , va ikkita chiziq agar . XOY tekisligida vektor chiziqlarini quramiz .
Kesishish nuqtalaridagi ekvipotensial va vektor chiziqlar ortogonaldir. Keling, buni nuqtadan o'tadigan chiziqlar uchun tekshiramiz .
Vektor chiziqlar tenglamasiga nuqtaning koordinatalarini qo yaylik : . M nuqtadan vektor chiziq o'tadi .
M nuqtadan o'tuvchi ekvipotensial chiziqni ham topamiz : . M nuqtadan ekvipotensial chiziq o'tadi .
M nuqtada bu egri chiziqlarga tegishlarning qiyaliklarini hisoblaymiz :
Vektor chizig'i uchun: t.da M: .
T. M :dagi ekvipotensial chiziq uchun .
- ikki tangensning perpendikulyarlik sharti.
M nuqtadagi vektor va ekvipotensial chiziqlar ortogonaldir.

Рисунок 8