Теория поля Дубограй

12-misol. Grin formulasidan foydalanib, OA , OB segmentlaridan va , , bo'lsa A va B nuqtalarini bog'lovchi aylananing kattaroq yoyidan iborat kontur bo'ylab vektor maydonining sirkulyatsiyasini hisoblang .
Y echim .

Рисунок 6

formulasiga ko'ra : C. , ; , . C. _
Chiziqli integral yordamida to'g'ridan-to'g'ri kontur bo'ylab sirkulyatsiyani hisoblash orqali javobni tekshiramiz: C .
.

.
.
Javob : C. _
Nazorat vazifasi 5.
Vektor maydonining chiziqli integrallarini hisoblang:
1) siniq chiziq bo'ylab .
2) ellips bo'ylab a) , b) .
(0;10;0) nuqtadan ko'ra, silindrning tekislik bilan soat yo'nalishi bo'yicha kesishishidan olingan ellips bo'ylab vektor maydonining sirkulyatsiyasini hisoblang .
ABOC siniq chizig'i bo'ylab vektor maydonining chiziqli integralini hisoblang , bu erda , , , .
Tsilindrlarning kesishish chizig'ining qismi bo'ylab va nuqtadan nuqtagacha bo'lgan maydonning ishini toping .
Ta'rif 7. Vektor maydoni G sohada potentsial deyiladi, agar shunday skalyar funksiya mavjud bo'lsa , uning gradienti : .
Funktsiya vektor maydonining skalyar potensiali deb ataladi . Agar bo'lsa, (6) ta'rifdan kelib chiqadiki
Funktsiyalar oddiy bog'langan G sohasida uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin . Keyin, potentsial maydon uchun biz quyidagi bayonotlarning ekvivalentligini isbotlashimiz mumkin:
1) Tenglik o'rinli: (1 1)
Yassi maydon uchun: . (1 1.1)
Bular maydon salohiyati uchun zarur va yetarli shartlardir.
2) Har qanday yopiq kontur bo'ylab vektor maydonining sirkulyatsiyasi nolga teng.
Mintaqada skalyar funktsiya mavjud bo'lib , uning to'liq differentsiali chiziqli integralning integraliga to'g'ri keladi , ya'ni bu holda funktsiya yagona emas, balki doimiy hadgacha aniqlanadi, chunki
va ni tutashtiruvchi yo'lga bog'liq emas , faqat shu nuqtalarning holatiga bog'liq. Nyuton-Leybnits formulasi amal qiladi .
, (1 2)
bular. potentsial maydondagi ish A va B nuqtalari orasidagi yo'lni tanlashga bog'liq emas va bu nuqtalardagi potentsial farqga teng.