Теория поля Дубограй

1 4-misol . Maydonning potentsial ekanligiga ishonch hosil qiling, maydonning potentsialini toping va moddiy nuqtani dan ga ko'chirishda ushbu maydon bajargan ishni hisoblang .
Yechim. Bu maydonning potentsialligi haqidagi savolga javob berish uchun , , funksiyalarining qisman hosilalarini hisoblaymiz . Bu funktsiyalar har qanday nuqtada ularning qisman türevleri bilan birga uzluksizdir .
; ; ; ; ; .
Maydonning potentsialligi uchun zarur va yetarli shart-sharoitlar qanoatlanganligini ko'ramiz : , , , h.k.
Potensialni hisoblash uchun biz bunday maydondagi chiziqli integralning integrallash yo'liga bog'liq emasligi va Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanishi mumkinligidan foydalanamiz. Bir nuqta yo'lning boshi, ba'zi nuqta esa yo'lning oxiri bo'lsin . Koordinata o'qlariga parallel bo'lgan chiziqli segmentlardan tashkil topgan kontur bo'ylab Рисунок 8rasmga qarang ). .
Kontur qismlarining tenglamalari: , , .
Keyin
, x shuning uchun bu erda o'rnatiladi ,
, y bu yerda aniqlangan , shuning uchun .
Natijada, biz quyidagilarni olamiz :
Endi biz xuddi shu integralni Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblashimiz mumkin. = = .
Natijalarni solishtiramiz: .


2.2.Vektor maydonining oqimi.
G da qandaydir orientirlangan sirt bo lsin . Sirtga normal vektor birligini o'rnatish orqali uning ma'lum bir tomonini tanlaymiz .
Ta'rif 9. Vektorning s sirt orqali o'tishi maydon vektori va normal birlik vektorining skalyar ko'paytmasining sirt integralidir: P. (13)
Vektor oqimini belgilashning boshqa shakllari ham mavjud. Masalan, Pr ni hisobga olsak, biz: P ni olamiz .
sirtga normal bo'ylab yo'naltirilgan vektorni belgilashingiz mumkin , shunday qilib: , . Keyin: . (1 4)
Agar sirt s yopiq bo'ladi, keyin odatda vektor yo'nalishi tashqi normalning sirtga yo'nalishi sifatida qabul qilinadi va belgilanadi
. (15)
Agar siz yo'nalishni o'zgartirsangiz (sirtning boshqa tomonini oling), keyin skaler mahsulot va shunga mos ravishda oqim o'zgarishi belgisi.
Oqim vektorlarning skalyar mahsulotini ifodalash orqali koordinata shaklida yozilishi mumkin :
. ( 16)
Yoki , (17)
bu erda o'ng tomonda ikkinchi turdagi sirt integrali mavjud.
D mintaqasi bo'yicha qo'sh integralga aylantiriladi , bu s sirtning mos keladigan koordinata tekisligiga proyeksiyasi:
( 18)
Oyz , Oxz , Oxy koordinata tekisliklariga proyeksiyalar s qayerda mos ravishda. O'ng tarafdagi qo'sh integral oldidagi belgi normal vektor sirtga va Ox , Oy , Oz o'qlarining musbat yo'nalishi orasidagi burchakning kosinus belgisiga to'g'ri keladi. mos ravishda. Ifodalar sirt tenglamasidan o'zgaruvchilarni ifodalash orqali olinadi s: . Oqim hisobini (16) , , formulaga almashtirish orqali birinchi turdagi integral hisobiga qisqartirish mumkin .