Тема 5 плоский поперечный изгиб. Расчет балок на прочность

Пример 5.1. Определить нормальное напряжение при изгибе балки (в МПа) в точке А поперечного сечения, удаленной от нейтральной линии сечения на 15 см (Рис.5.6), если изгибающий момент кНм.



Рис.5.6

Решение:

1. 
   Определяем момент инерции сечения относительно оси :
   

см⁴.

2. Подставляем значения изгибающего момента, осевого момента инерции и координаты точки А в формулу для нормальных напряжений (5.13) и находим напряжения:

кНм.
Таким образом, в точке А поперечного сечения балки действует сжимающее нормальное напряжение МПа.
5.3. Расчет балок на прочность. Условие прочности при изгибе

Формула (5.13) решает вопрос о величине и распределении нормальных напряжений по сечению. Она выведена в предположении наличия чистого изгиба, когда сечения остаются плоскими.

Исследования показали, что когда поперечная сила не равна нулю, сечения не только поворачиваются, но и несколько искривляются под влиянием касательных напряжений. Однако это искривление для двух смежных сечений таково, что оно не меняет установленного выше закона распределения деформаций волокон, заключающихся между этими сечениями. Поэтому формула (5.13) может быть применена и в том случае, когда поперечная сила не равна нулю.
Для проверки прочности балки по нормальным напряжениям необходимо найти наиболее напряженные растянутые или сжатые волокна сечения. Для этого необходимо применить формулу (5.13) к опасному сечению, т.е. подставить в нее вместо изгибающего момента его наибольшее значение , которое назовем расчетным изгибающим моментом, а вместо подставить  расстояние от нейтральной линии сечения до наиболее удаленных от нее точек. Тогда для наибольшего нормального напряжения получаем формулу:


. (5.14)

Обычно эту формулу преобразовывают, деля числитель и знаменатель на :

.
Величина называется осевым моментом сопротивления сечения и обозначается буквой . Измеряется осевой момент сопротивления единицами длины в третьей степени, например (см³). Физический смысл момента сопротивления состоит в следующем: чем больше , тем больший изгибающий момент может принять на себя балка, не подвергаясь опасности разрушения. Таким образом, величина момента сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения балки на ее способность сопротивляться внешним нагрузкам, не разрушаясь.
Максимальные напряжения, действующие в балке, могут быть найдены из выражения
. (5.15)

При симметричном относительно нейтральной линии сечении, например, прямоугольном, расстояния до крайних растянутых и сжатых волокон одинаковы и такое сечение имеет одно вполне определенное значение момента сопротивления относительно оси . Так, при высоте прямоугольника (Рис.5.7), равной

и .



Рис. 5.7

Если сечение несимметрично относительно нейтральной линии – тавр, мы получим два момента сопротивления: один для волокон А (Рис.5.7,б): и другой для волокон В: . Теперь в формулу (5.15) следует вводить:  при вычислении напряжений в точке А и  при вычислении напряжений в точке В.

Запишем условие прочности при изгибе. Это условие выражает ту мысль, что наибольшее действительное напряжение должно быть не больше допускаемого:
(5.16)

Условие прочности (5.16) решает три задачи:

1. Задача проверочного расчета, заключающаяся в вычислении максимальных действительных напряжений в изгибаемой балке и сравнении этих напряжений с допускаемым. Если действительные напряжения не превышают допускаемой величины, считается, что прочность не нарушена и конструкцию можно эксплуатировать дальше.
2. Задача подбора величины допускаемой нагрузки. В результате решения этой задачи определяется допускаемое значение для расчетного изгибающего момента, а затем находятся допускаемые значения самих внешних нагрузок, функцией которых является расчетный изгибающий момент:


. (5.17)

3. Задача проектировочного расчета, заключающаяся в определении размеров поперечного сечения балки при известном расчетном изгибающем моменте и известном допускаемом напряжении:

. (5.18)

Здесь:  требуемый момент сопротивления.

При расчете балок на прочность следует различать два случая. Первый случай, наиболее часто встречающийся при изгибе, когда материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию; в этом случае допускаемые напряжения для того и другого вида деформации равны между собой:


.

Тогда при симметричном сечении безразлично, проверять ли прочность растянутых или сжатых волокон, ибо для тех и других момент сопротивления и наибольшие действительные напряжения будут иметь одну и ту же величину. При несимметричном сечении в формулу (5.16) вместо надо подставить меньшее значение из и ; оно будет относиться к наиболее удаленному волокну.

Второй случай имеет место, когда материал балки неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию; тогда вместо одного условия прочности мы получаем два: одно -–для растянутых, другое – для сжатых волокон:


; . (5.19)

В зависимости от того, чему лучше сопротивляется материал, что больше  ⁺ или , приходится соответствующим образом конструировать сечение, выбирая его форму и размеры так, чтобы и удовлетворяли условию прочности.

Рассмотрим несколько примеров определения моментов сопротивления сечений и расчета балок на прочность.