Тема 5 плоский поперечный изгиб. Расчет балок на прочность

ТЕМА 5

ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ

5.1. Понятие о чистом изгибе. Основные определения и гипотезы

При плоском поперечном изгибе в изгибаемом элементе возникают поперечная сила и изгибающий момент . При этом все внешние нагрузки лежат в продольной плоскости симметрии элемента, изогнутая ось балки представляет собой плоскую кривую. Чистым называется частный случай плоского поперечного изгиба, при котором в поперечных сечениях изгибаемого элемента возникает только изгибающий момент . Подобным образом, если пренебречь собственным весом, могут изгибаться отдельные элементы колесной пары железнодорожного вагона, расчетная схема которой представлена на рис.5.1.

Рис.5.1

Как видно из рис.5.1, на участке балки ВС возникает чистый изгиб. На эпюре поперечных сил на этом участке отсутствует поперечная сила, на эпюре изгибающих моментов действует постоянный момент .

Исследуя интегральные зависимости, приведенные в Теме №1 настоящего пособия, можно прийти к выводу, что нормальные напряжения являются функцией изгибающего момента:


. (5.1)

Касательные напряжения являются функцией поперечной силы:

. (5.2)

Таким образом, при чистом изгибе в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения, что существенно упрощает вывод формулы для нормальных напряжений при изгибе. Как уже отмечалось ранее, интегральные зависимости между внутренними усилиями и напряжениями не позволяют непосредственно получить из них выражение для напряжений в каждой точке сечения. Необходимо знать закон распределения этих напряжений по сечению. Условия равновесия нам этого не дают, задача оказывается статически неопределимой. В связи с этим обратимся к экспериментальному исследованию деформаций балки.

Рассмотрим результаты опыта с чистым изгибом балки парами сил, лежащими в плоскости симметрии балки (Рис.5.2).

Рис.5.2

Проведем до деформации на ее боковой поверхности близко друг к другу две линии и , перпендикулярно к оси балки на расстоянии . Между этими сечениями проведем линии и , параллельные оси балки. До деформации .
Наблюдения показывают, что после деформации (Рис.5.2,б):
 линии и остались прямыми, но наклонились друг к другу и образуют угол ;
 отрезок укоротился, а отрезок удлинился;
 ширина балки в сжатой зоне увеличилась, а в растянутой уменьшилась (Рис.5.2, в).
Проведенные экспериментальные наблюдения позволяют сделать следующие выводы о характере деформаций балки при чистом изгибе. Так как линии и , представляющие собой следы двух смежных поперечных сечений балки на ее поверхности, после деформации остались прямыми, то можно предположить, что соответствующие поперечные сечения балки остались плоскими и лишь повернулись одно относительно другого на угол .
Судя по изменению длин отрезков и , можно заключить, что (при положительном изгибающем моменте ) верхние волокна сжаты, а нижние растянуты. Так как деформации волокон меняется непрерывно, то на каком-то уровне по высоте балки находится слой волокон, не изменивших своей длины, так называемый нейтральный слой. Отрезок , принадлежащий нейтральному слою, сохранил прежнюю длину .
Рассматриваемая балка симметрична относительно плоскости внешних сил. Поэтому обе ее половины деформируются симметрично относительно этой плоскости. Это позволяет сделать предположение, что деформация волокон любого слоя, параллельного нейтральному, не зависит от их положения по ширине балки.
Нейтральный слой перпендикулярен к плоскости симметрии балки и пересекает плоскость каждого поперечного сечения балки по прямой, которая называется нейтральной линией сечения. Эта линия также перпендикулярна к плоскости симметрии балки.
Повороты сечений происходят вокруг их нейтральных линий, изображенных на рис.5.2,б точками и . Если бы поворот сечений происходил не около линий, лежащих в нейтральном слое, то отрезок не мог бы сохранить своей первоначальной длины.
Так как сечения поворачиваются вокруг нейтральных линий, перпендикулярных к плоскости действия сил, точки этой плоскости останутся в ней и после деформации; следовательно, ось балки останется в плоскости действия сил, обратившись в плоскую кривую. Изгиб, при котором ось балки после деформации остается в плоскости действия внешних сил, называется плоским изгибом.
Деформации балки в направлении ее ширины показывают, что волокна ее испытывают обычное растяжение и сжатие, при котором имеет место явление, учитываемое коэффициентом Пуассона: в сжатой зоне ширина сечения балки увеличивается, в растянутой – уменьшается (Рис.5.2,в).
Экспериментальные исследования изгиба балок дают основания для ряда гипотез:
1. При чистом изгибе, поперечные сечения, бывшие плоскими до деформации, остаются плоскими и во время деформации (гипотеза плоских сечений).
2. Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений испытывают простое линейное растяжение и сжатие.
3. Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.
Кроме этих гипотез следует ввести ряд ограничений:
1. Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.
2. Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.
3. Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
Приведенные выше гипотезы в обычных случаях изгиба верны только приблизительно. Однако вытекающие из них погрешности теории так невелики, что ими можно пренебречь.