Тема 5 плоский поперечный изгиб. Расчет балок на прочность

5.2. Определение нормальных напряжений при изгибе

Рассмотрим балку, испытывающую чистый изгиб парами (Рис.5.3).

Рис.5.3

Разрежем балку сечением не две части и рассмотрим условия равновесия одной из них, например, левой, показанной на рис.5.3 внизу. Для простоты чертежа балка взята прямоугольного сечения. Так как практически искривления балки ничтожны по сравнению с ее размерами, то отсеченная часть изображена недеформированной.

Линия пересечения плоскости симметрии балки с плоскостью сечения принята за ось . Нейтральная линия сечения принята за ось , причем положение ее по высоте балки пока неизвестно. Ось взята вдоль нейтрального слоя перпендикулярно осям и .
В каждой точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения . Выделив вокруг любой точки с координатами и элементарную площадку , обозначим действующую на ней силу .
Отсеченная часть балки находится в равновесии под действием внешних сил, образующих пару , и нормальных усилий , заменяющих отброшенную часть балки. Для равновесия эта система должна удовлетворять шести уравнениям статики. Составим сначала уравнения равновесия проекций сил на три координатные оси , и .
Так как проекция пары на любую ось равна нулю, то эти уравнения дают равенство суммы проекций нормальных усилий на оси. Заменяя суммирование этих усилий по всей площади сечения интегрированием, получим:


. (5.3)


и обращаются в тождества 0 0, так как усилия проектируются на эти оси в точку.
Составим теперь уравнения моментов относительно осей , и . Заметим при этом, что пара лежит в плоскости и поэтому моментов относительно осей и не дает.
обращается в тождества, так как усилия параллельны оси .
; ,
откуда


, (5.4)
; . (5.5)

Таким образом, из шести уравнений равновесия можно использовать только три:

или , (5.6)


; или , (5.7)


; или . (5.8)

Полученных трех уравнений статики недостаточно для определения величины нормальных напряжений, так как изменяется в зависимости от расстояния площадки до нейтральной линии по неизвестному пока закону. Это расстояние тоже пока неизвестно, так как неизвестно положение нейтральной линии .

Задача оказывается статически неопределимой, поэтому рассмотрим деформации балки. Для этого двумя бесконечно близкими сечениями и выделим из балки элемент длиной . Вид этого элемента до и после деформации приведен на рис 5.4.

Рис.5.4

Оба поперечных сечения, оставаясь плоскими, повернулись вокруг нейтральной линий (на рисунке точки и ) и образуют угол . Нейтральный слой показан пунктиром. Линия , принадлежащее нейтральному слою, после деформации сохраняет свою первоначальную длину . Все волокна, лежащие выше нейтрального слоя, укорачиваются, а ниже  удлиняются.
Найдем удлинение какого-либо волокна АB, расположенного на расстоянии от нейтрального слоя и растянутого напряжениями . Первоначальная длина этого волокна . После деформации его длина стала . Абсолютное удлинение рассматриваемого волокна . Относительное удлинение равно


,

т.е. удлинения волокон пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Здесь  радиус кривизны нейтрального слоя, величину которого для выделенного (бесконечно малого по длине) элемента можно считать постоянной. Допустив, что при изгибе волокна друг на друга не давят, и что каждое волокно испытывает простое растяжение или сжатие, для вычисления напряжений можем воспользоваться законом Гука при растяжении:


или . (5.9)

Уравнение (5.9) показывает, что величина нормальных напряжений при изгибе меняется прямо пропорционально расстоянию рассматриваемой точки сечения от нейтрального слоя. Значит, напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону. В нейтральном слое при напряжения , в сжатой зоне (при ) напряжения становятся отрицательными, в растянутой зоне (при ) напряжения становятся положительными. По мере удаления от нейтрального слоя напряжения растут по абсолютной величине и достигают максимальных значений при , т.е. в самых удаленных от нейтрального слоя волокнах.

Формула (5.9) дает характер распределения нормальных напряжений по высоте сечения (Рис.5.5), но ею нельзя воспользоваться для вычисления величины напряжений, так как ни , ни неизвестны, поскольку неизвестно расположение нейтрального слоя по высоте сечения.



Рис.5.5

Для определения величины нормальных напряжений в зависимости от величины изгибающего момента обратимся к совместному решению полученного из рассмотрения деформаций уравнения (5.9) и уравнений статики (5.6)(5.8).

Подставляя значение из выражения (5.9) в уравнение (5.6), получим:


или .

Так как , то

.

Этот интеграл представляет собой статический момент площади относительно нейтральной линии сечения. Так как он равен нулю, то, следовательно, нейтральная линия сечения проходит через центр тяжести сечения. Так как центр тяжести лежит и на оси симметрии , то точка пересечения этих двух осей является центром тяжести сечения, а ось  осью балки.

Таким образом, положение нейтральной оси и нейтрального слоя вполне определены. Нейтральный слой заключает в себе центры тяжести всех сечений балки.
Подставим выражение (5.9) в уравнение (5.7). Получим:


, или .

Отсюда следует, что

.

Полученный интеграл представляет собой центробежный момент инерции. Известно, что оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, являются главными осями инерции. Следовательно, нейтральная линия сечения является главной осью инерции сечения. А это означает, что осевой момент инерции относительно этой линии достигает экстремальной величины.

Воспользуемся последним уравнением равновесия (5.8), подставив в него выражение (5.9). Получим:


; или . (5.10)

Выражение представляет собой момент инерции сечения относительно нейтральной линии сечения и обозначается буквой .

Таким образом, (5.10) можно переписать в виде:


. (5.11)

Преобразуем это выражение к виду:

. (5.12)

Из формулы (5.12) видно, что чем больше при данном изгибающем моменте момент инерции , тем большим окажется радиус кривизны нейтрального слоя, а, следовательно, и оси балки, т.е. тем меньше балка изогнется.

Величина момента инерции является геометрическим фактором жесткости балки при изгибе, так как характеризует способность балки искривляться в зависимости от размеров и формы поперечного сечения балки. Произведение называется жесткостью балки при изгибе, и чем она больше, тем меньше изогнется балка при действии данного изгибающего момента.
Подставим в выражение (5.12) значение . Получим:


. (5.13)

Таким образом, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и расстоянию точки от нейтральной линии сечения и обратно пропорционально моменту инерции сечения относительно нейтральной оси. Знак “” в формуле (5.13) позволяет автоматически получать правильный знак для напряжения в зависимости от координаты точки, в которой это напряжение вычисляется.

Рассмотрим пример определения нормального напряжения в произвольной точке сечения изгибаемой балки.