Таълими ходимларини қайта

4-синф битирувчилари учун TIMSS масалаларидан намуналар

1. 
   масала (дунѐ бўйича ўртача 73%, Сингапур 95%, Россия 14%).
   

Том ноннинг қисмини, Яна эса қисмини еди. Иккаласи ҳам ноннинг қайси қисмини ейишди?

2. 
   масала (дунѐ бўйича ўртача 44%, Гонгконг 82%, Сингапур 81%, Россия 35%). Қайси каср қолганларга тенг эмас?
   

3. 
   масала ( дунѐ бўйича ўртача 73%, Гонгконг 74%, Сингапур 67%, Россия 62% ).
   

Қайси каср
¹ дан катта?
2

2. Махражи 12 дан ошмаган касрларни таққослашнинг амалий йўналиши.

Бир хил махражли касрларни таққослаш
Узунлиги 6 см бўлган кесма чизинг. Унинг 1, 2, 3, 4 қисмининг
узунлиги 6 6 6 6
неча сантиметр бўлишини топиб, жавобни жадвал кўринишида ѐзайлик:

Улушлар	1 6	2 6	3 6	4 6	5 6
Улушга мос узунликлар (см)	1	2	3	4	5

Кaсрнинг aсoсий xoссaси.
Кaсрлaрни қисқaртириш.


Кaсрлaрни умумий мaxрaжгa кeлтириш
Кaсрлaрни таққослаш

Бир хил махражли касрлардан қайси бирининг сурати катта бўлса, ўша каср каттадир.

Бир хил махражли касрлардан қайси бирининг сурати кичик бўлса, ўша каср кичикдир.
Бир хил махражли касрларни таққослаш учун уларнинг суратларини таққослаш кифоя.

3. Ўнли касрларнинг ѐзилиши ва ўқилиши. Ўнли касрларнинг хона бирликлари. Ўнли касрларни қўшиш ва айиришга доир мисоллар.

Математиканинг асосий тушунчаларидан бири сон тушунчаси ҳисобланади. Сон ҳақидаги тушунча қадимда пайдо бўлиб, узоқ вақт давомида кенгайтирилиб ва умумлаштириб борилган. Энг аввал санашда ишлатиладиган сонлар: 1, 2, 3, … n … ҳосил бўлган, бу сонлар натурал сонлар дейилади. Натурал сонлар тўплами Н билан белгиланади: N= {1, 2, … n …}. Энг кичик натурал сон 1, энг каттаси мавжуд эмас. Ҳар бир натурал сондан кейин маолум битта натурал сон келади; 3 дан кейин албатта 4 келади, 100 дан кейин – 101 ва ҳоказо.
Натурал сонлар тўплами устида фақат иккита амал: қўшиш ва кўпайтириш

бажарилади. Агар
a  N, b  N
бўлса, (a  b)  N, ab  N
бўлади.

Натурал сонларга 0 ни ва ҳамма бутун манфий сонларни қўшсак, сонларнинг янги тўплами – бутун сонлар тўплами ҳосил бўлади, уни Z билан белгилаш қабул қилинган; Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. Бутун сонлар устида қўшиш,

кўпайтириш амалларидан ташқари айириш амали ҳам бажарилади, ҳақиқатда

агар
a  Z,b  Z
бўлса,

• 
  a  Z,  b  Z .Бундан
  

a  b  a  (b)
бўлади. Бутун сонлар

ҳосил қилинишидан
N  Z
эканлиги келиб чиқади.

Энди
^p ( p  Z ,
q
q  N )
кўринишдаги касрларни, оддий каср ҳам дейилади,кўриб

чиқамиз. p ихтиѐрий бутун қийматни, қ ихтиѐрий натурал қийматни қабул

қилганда
^p ҳосил қиладиган сонлар тўпламига рационал сонлар тўплами
q

^{дейилади ва} Q ^{билан белгиланади:}
Q  ^{ p} ,

 _q



p  Z ,
^{q  N ,} Q ^{устида тўрт амал:}




қўшиш, айириш, кўпайтириш ва бўлиш бажарилади. Натурал сонлар ва бутун

сонлар рационал сонлар тўпламига қисм тўплам бўлади, яъни Рационал сонларнинг баъзи хоссаларини келтирамиз:
N  Q, Z  Q .

1. 
   ^a  ^c . ^дан a  c,b  d ^{келиб чиқади. a}  ^a
   

ҳамма вақт бажарилади.

b d b b

2. 
   ^a  ^{c бўлиб c  e бўлса, a  e бўлади.}
   

b d d f b f

3. 
   ^a ва
   

n  0
бўлса
a _ an
_ва a _ a : n
бўлади.

b b bn b b : n

1. 
   таъриф. ^a ва
   

b
^b касрлар ўзаро тескари касрлар дейилади. Бошқача қилиб
a

айтганда, кўпайтмаси 1 га тенг бўлган касрлар ўзаро тескари касрлар дейилади.

5 _, 14
ўзаро тескари касрлар, чунки
⁵  ¹⁴  1 ^{Шунга ўхшаш,}
2 ¹  ³  1 ^{бўлгани учун}

7 10 7 10 3 7
улар ўзаро тескари сонлардир.

2. 
   таъриф. Агар касрнинг сурати махражидан катта ѐки тенг бўлса, каср нотўғри каср дейилади. Бу ҳолда суратни махражга бўлиб нотўғри касрни бутун сон ва тўғри каср (сурат махраждан кичик) йиғиндиси кўринишида тасвирлаш
   

мумкин:
²⁷ нотўғри каср, суратни махражга бўлсак, 27:4=6(3 қолдиқ) ҳосил
4

бўлади, шунинг учун
²⁷  6  ³  6 ³
ҳосил бўлади. Бошқа мисол ¹¹⁷  5
2 _, 17 _{ 5} 2

4 4 4 23 23 3 3
Бутун ва тўғри каср йиғиндисидан иборат сон аралаш сон дейилади. Уни нотўғри касрга айлантириш учун бутун махражга кўпайтирилади, кўпайтма суратга қўшилади. Ҳосил бўлган сон нотўғри касрнинг сурати бўлади, махраж ўзгармайди.
_A a _ Ab  a _{; 2} 1 _ 2x3  1 _ 7 _;
b b 3 3 3

3. 
   таориф. Агар касрнинг махражи 10^н дан иборат бўлса, ўнли каср дейилади. Бу ҳолда суратни махражга бўлиш якунланади.
   

³  0,3; ²⁷  2,7;
10 10
97

100
 0,97

5237 _{ 5} 237
 5,237; ¹⁷
 0,017

1000 1000
1000

Касрнинг суратини махражга бўлганда, бўлиш чекли (якунланади) ѐки чексиз (якунланмайди) бўлиши мумкин. Биринчи ҳолатда чекли ўнли каср ҳосил бўлади, иккинчи ҳолатда чексиз ўнли каср ҳосил бўлади. Умуман олганда, агар

касрнинг махражи
b  2ⁿ5^k
кўринишида бўлса, бу каср чекли ўнли каср

кўринишида тасвирланади, бу ерда н, к=0,1,2,…

Ҳақиқатда,
a _ a
b 2ⁿ  5^k
бўлсин. Фараз қилайлик, n>K ва n=k+m бўлсин. Каср

сурат ва махражини 5^m га кўпайтирамиз ва
қиламиз, бу эса ўнли касрдир.
a _ a
^b 2ⁿ  5^k
5^m 5^m a
^x 5^{m } 2ⁿ  5ⁿ
_ 5ⁿ a
10ⁿ
ни ҳосил

Агар каср махражи 2 ва 5 дан ташқари бошқа туб бўлувчига эга бўлса, касрни чекли ўнли каср кўринишида тасвирлаб бўлмайди. Бу ҳолда чексиз ўнли даврий каср ҳосил бўлади:

¹  0,333... 0,(3); ⁷
 0,2121... 0,(21);

3 33
¹¹  0,36666... 0,3(6).
30
Чекли ўнли касрни даври 0 ѐки 9 бўлган чексиз ўнли касрлар кўринишида ѐзиш мумкин.
Айтилганлардан келиб чиққан ҳолда, рационал сонларга қуйидагича таориф бериш мумкин.

Ўнли касрларнинг хона бирликлари.

Ўнли кaсрлaрни қўшиш вa aйиришгa дoир мисoллaр.


Назорат саволлари:

1. 
   Улуш деб нимага айтилади?
   
2. 
   Бутуннинг ярми, чораги, нимчораги нимани билдиради?
   
3. 
   Каср деб нимага айтилади? Оддий каср деб-чи?
   
4. 
   Касрнинг сурати нимани билдиради? Махражи-чи?
   
5. 
   Каср қандай ўқилади?
   
6. 
   Касрнинг асосий хоссаси нимадан иборат? Мисолларда тушунтиринг.
   
7. 
   Қандай касрларни қисқармас каср дейилади?
   
8. 
   Қандай касрлар ўнли каср дейилади?
   
9. 
   Ўнли касрлар қандай ѐзилади? Қандай ўқилади?
   
10. 
    Ўнли касрда қайси хона бирликлари орасига вергул қўйилади?
    
11. 
    Ўнли касрларни қўшишнинг қандай қонунларини биласиз?
    
12. 
    Ўнли касрдан ўнли каср қандай айирилади?