Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi

II.3-§ Bir jinsli chegaraviy masala uchun Grin formulasi

Differensial ifoda
(2.16)
2.2-ta’rif. Ushbu
(2.17)
chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi deb shunday funksiyaga aytiladiki , funksiya yopiq sohada aniqlangan bo’lib, oraliqda olingan har bir uchun ning funksiyasi sifatida qandaydir shartlarni qanoatlantlqntiradi:

1. 
   funksiya va bo’yicha oraliqda uzluksiz, bo’yicha tartibigacha uzluksiz differensiallanuvchi;
   
2. 
   dan olingan ixtiyoriy tayinlangan uchun funksiya bo’yicha va oraliqlarning har birida va -tartibli hosilalarga ham ega, ammo -tartibli hosilasi nuqtada chekli uzulishga ega, ya’ni:
   

(2.18)

3. 
   va integrallarning har biridan ning funksiyasi sifatida funksiya (2.17) munosabatlarni qanoatlantiradi, ya’ni
   

.
2.2-teorema. Agar (2.17) chegaraviy masala faqat trival yechimga ega bo’lsa, u holda shu masala uchun yagona Grin funksiyasi mavjud.
Isbot. funksiyalar tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo’lsin. U holda bu tenglamaning barcha yechimlari formula bilan yoziladi. Shuning uchun larning biror qiymatida bu formuladan funksiyani hosil qila olsak, teorema isbot bo’lgan bo’ladi. Agar Grin funksiyasi mavjud bo’lsa, intervalda
intervalda esa

munosabat o’rinli bo’kishi kerak. Bundan -tartibigacha hosilalari uzluksiz bo’lganligi uchun bo’lganda ushbu



tenglamalarga ega bo’lamiz; - tartibli hosila uchun esa

tenglikka egamiz. Agar desak, yuqoridagi tengliklar quyidagicha yoziladi:
(2.19)
Bu sistemaning determinant chiziqli erkli funksiyalar vronskianining nuqtadagi qiymatidan iborat. Ma’lumki, bu xolda _.
Shuning uchun (2.19) sistema determinant noldan farqli bir jinsli bo’lmagan sistema sifatida yagona yechimga ega. Shu yechimni deb belgilaymiz. Demak (2.19) sistema larni bir qiymatli aniqlaydi. Endi bo’lgani uchun va larni aniqlash bilan shug’ullanamiz. Bu koefieysentlarni chegaraviy shartlardan foydalanib topamiz. Uning uchun ni bunday yozamiz:
(2.20)
Bu yerda
(2.21)
agar (2.21) da o’rniga funksiyani qo’ysak,

kenglikka kelamiz. Bunda lar o’rniga larni qo’yamiz:

(2.21) kelib chiqadi. Agar desak, (2.21) dan larga nisbatan ta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu bir jinsli bo’lmagan sistema, uchun va . Agar bo’lsa, (2.21 ) dan kelib chiqadi.
funksiya ta’rif bo’yicha chrgaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya’ni . Shuning uchun oxirgi integral nolga teng va munosabatga egamiz. Bundan olingan funksiya oraliqda chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi kelib chiqadi. Demak, (2.16) isbot qilindi. Endi (2.15) ni isbot qilamiz. Teoremaning shartlariga ko’ra (2.17) masala faqat trival yechimga ega. 2.2-teoremadan ekanligi chiqadi. Shuning uchun olingan funksiya hosilalarining o’rniga (2.17), (2.18), (2.19) formulalardan foydalanib, o’z ifodasini differensial ifodaga qo’yamiz:




Demak , intervalda ayniyat o’rinli. Shunga o’xshash interval uzluksiz funksiya uchun olingan funksiya (2.13) chegaraviy masalaning yechimi bo’ladi.