Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi

2.2-misol. Quyidagi chegaraviy masalaning yechimini toping:
.
Yechish. Berilgan tenglama Eyler tenglamasi bo’lib, uni umumiy yechimi ko’rinishiga ega .
shartdan foydalansak tenglik hosil bo’ladi. Buning bajarilishi uchun bolishi lozim. Endi shartga qaytsak, bundan bo’lib, berilgan tenglamaning yechimi ko’rinishga ega.
2.3-misol. Ushbu tenglamani funksiya da chegaaralangan degan shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. tenglamaning umumiy yechimi bo’lib, funksiya da chegaralangan, esa da chegaralangan. Shuning uchun Grin funksiyasini (2.6) ga ko'ra
(2.10)
ko’rinishida qidiramiz. funksiyani topish uchun (2.4) va (2.5) ifodadan foydalanib,
, (2.11)
s istemani hosil qilamiz. (2.11) sistemani yechib, funksiyalarni topamiz. Bularni (2.10) ga qo’ysak

ko’rinishidagi Grin funksiyasi hosil qilamiz. U holda berilgan tenglamani umumiy yechimi ko’rinishda ifodalanadi.
II.2-§ Bir jinsli chegaraviy masala
Chegaraviy masala yechimini mavjudligi va yagonaligi muhim ro’l o’ynaydi. Bu mavzuga tegishli ba’zi ma’lumotlarni bayon etish uchun quyidagi munosabatlardagi funksiyalar o’z argumentiga nisbatan chiziqli shakldan iborat bo’lgan holini ko’ramiz. Aniqrog’i funksiyalar quyidagi
(2.12)
(bunda o’zgarmas) ko’rinishida bo’lsin. Agar bo’lsa , qo’yilgan masala bir jinsli chegaraviy masala deyiladi. Agar bo’lsa, u bir jinsli bo’lmagan masala deyiladi.
n – tartibli chiziqli bir jinsli
(*)
tenglama va (2.12) chegaraviy shartlar berilgan bo’lsin, (*) va (2.12) munosabatlarni bo’lganda qanoatlantiradigan funksiyani topish masalasi (*) tenglama uchun bir jinsli masala deyiladi.
Ravshanki , har bir bir jinsli chegaraviy masala kamida bitta trival yechimga, ya’ni yechimga ega . Ammo bir jinsli chegaraviy masala trival bo’lmagan yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin. Shu munosabat bilan quyidagi tenglamani keltiramiz.
2.1-teorema. Agar funksiyalar (*) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo’lsa, u holda , masala trival emas yechimga ega bo’lishi uchun
(2.13)
determinantning nolga teng bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra funksiyalar oraliqda chiziqli erkli yechimlar. Shuning uchun bo’lganda (*) tenglamaning barcha yechimlari

formula bilan beriladi. Jumladan, shartni qanoatlantiruvchi yechimi ham shu formula bilan beriladi. Shu sababli
(2.14)
munosabatlarga egamiz, ya’ni

yoki (2.15)
Endi bir jinsli tenglama bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiradigan trivalmas yechimga ega deylik. Unda bo’ladi. Shuning uchun (2.15) dan ekani kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u holda (2.15) dan o’zgarmaslar topiladi. Demak, ushbu

funksiya trivalmas bo’lib, bir jinsli chegaraviy masala shartlarini qanoatlantiradi. Teorma isbotlandi.
1-eslatma. Agar chegaraviy shartda bo’lsa, u holda bir jinsli chegaraviy masala trivalmas yechimga ega: agar matritsa rangi bo’lsa, u holda bir jinsli chegaraviy masala larga nisbatan qat’iy ta chiziqli erkli yechimga ega bo’ladi. Bu tasdiqlarning isboti ravshan.
2-eslatma. matritsaning rangi fundamental sistema ni tanlashga bog’liq emas. Haqiqatdan, bir fundamental sistemadan ikkinchi fundamental sistemaga o’tish chiziqli almashtirish yordamida, ya’ni ushbu

Formula bilan amalga oshiriladi , bunda lardan tuzilgan determinant noldan farqli. Almashtirish natijasida matritsa matritsaga ko’paytiriladi. Shuning uchun matritsaning rangi o’zgarmaydi. matritsa rangi chegaraviy masala rangi deyiladi.