Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi

Yechish. va ifodani tenglamaga qo’yib, ayniyatni hosil qilamiz. Demak, berilgan funksiya ko’rsatilgan tenglamaning yechimi bo’ladi.
1.2-misol. munosabat bilan aniqlangan funksiya differensial tenglamaning yechimi ekanligini ko’rsating.
Yechish. belgilash kiritilib, oshkormas funksiyani differensiallash formulasi (1.4) yordamida topilgan ifodani tenglamaga qo’yib ayniyatga kelamiz. Demak, berilgan oshkormas funksyia tenglamaning yechimi bo’ladi.

I.2 -§ O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar

Ushbu
(1.5)
ko’rinishdagi tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lib, bu yerda va - berilgan funksiyalar. O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaning umumiy integrali tenglamani hadma – had integrallash bilan topiladi:

Quyidagi
(1.6)
ko’rinishidagi tenglama ham o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’ladi, bu tenglik ikkala qismini ifodaga bo’lish bilan u (1.5) ko’rinishga keltiriladi va umumiy integrali topiladi.
Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli
(1.7)
differensial tenglama ham (1.6) ko’rinishga keltiriladi. Buning uchun oxirgi tenglikni ikkala qismini ifodaga ko'paytirib, ekanligini e’tiborga olish kerak.
Eslatma: Yuqoridagi (1.6), (1.7) tenglamalarning yoki funksiyalariga bo’lish natijasida tenglama umumiy yechimidan kelib chiqmaydigan yechimlarga ham ega bo’lish mumkin.
Ushbu
(1.8)
(bu yerda - berilgan o’zgarmas sonlar) ko’rinishidagi tenglamalar almashtirish yordamida o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalarga keltiriladi.
1.1-misol. Ushbu differensial tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani (1.2) ko’rinishga keltirib, integrallasak, - umumiy yechimini olamiz. Shu tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimi ko’rinishida bo’ladi.
1.2-misol. Tenglamani yeching:
.
Yechish. Bu tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir. Uning ikkala tomonini ifodaga bo’lish bilan o’zgaruvchilarini ajratamiz va integrallaymiz.

Natijada ko’rinishidagi umumiy integralni olamiz.
1.3-misol. Tenglamani yeching: _.
Yechish. Bu tenglamani almashtirish yordamida ushbu tenglamaga keltiramiz:
_.
O’zgaruvchilarini ajratib integrallaymiz
_.
Integralni hisoblab yechimga ega bo’lamiz. Agar bo’lsa, bo’lib ham tenglamaning yechimi bo’ladi. bo’lganligi uchun va funksiyalar umumiy yechimini ifodalaydi.