T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

6
-§. Egri chiziqning qavariqligi va botiqligi. Egri chiziqning burilish nuqtasi
6.1. 
Egri chiziqning  qavariqligi va botiqligi. 
Aytaylik, f(x)  funksiya x=xo 
nuqtada  /Yxq)  hosilaga  ega,  ya’ni  funksiya  grafigining  M(xaffxoj)  nuqtasidan 
novertikal urinma oMkazish mumkin boMsin.
8.30-ta’rif. 
Agar x=xo nuqtaning  shunday atrofi  mavjud boMib, y=f(x)  egri 
chiziqning bu atrofdagi nuqtalarga mos boMgan boMagi shu egri chiziqqaM(xoJ(xo))
207

---

nuqtasidan oMkazilgan urinmadan pastda (yuqorida)joylashsa, u holda
f(x)
 
funksiya 
X'-X
q
 nuqtada qavariq
 
(botiq
) deyiladi.
Agar egri chiziq biror intervalning barcha nuqtalarida qavanq (botiq) boMsa, 
u holda bu chiziq shu intervalda 
qavariq (botiq)
 
deyiladi. 46-rasmda qavariq va 47- 
rasmda botiq egri chiziqlar chizilgan.
46-rasm
47-rasm
48-rasm
49-rasm
Egri  chiziq  nuqtasining  ordinatasini 
у
 
bilan,  shu  egri  chiziqqa 
M(
x
0J(
xq
)) 
nuqtasida  oMkazilgan  urinmaning 
x
 
ga  mos  ordinatasini 
Y
 
bilan  belgilaylik. 
Ravshanki, agar 
x0
 
nuqtaning biror atrofidan olingan barcha 
x
 
lar uchun 
y-Y <
 0 
(y- 
Y 
> 0)  tengsizlik  o‘rinli  boMsa,  u holda egri  chiziq x=xo nuqtada  qavariq  (botiq) 
boMadi. (48-,49-rasmlar)
8.31-teorema. 
Faraz  qilaylik, 
f(x)
 
funksiya 
X
 
oraliqda aniqlangan  va 
x0eX 
nuqtada  ikkinchi  tartibli  hosilasi  mavjud  boMsin.  Agar 
f  (xo)>0
 
boMsa,  u  holda
208

---

funksiya grafigi x0 nuqtada botiq; agar  f  (x0)<0 bo'lsa, u holda funksiya grafigi x0 
nuqtada qavariq bo'ladi.
Isbot.  0  Aytaylik,  j "  (xo)>0  bo'lsin.  Quyidagicha  yordamchi  funksiya 
kintamiz: F(x)=y-Y, ya’ni F(x)=f(x)-f(xo)~ f  (xo)(x-xo).  Ravshanki F(xo) =0,  F  (x) = 
= f  (x)- f  (xo).  F ” (x) = f  (x)  bo'ladi.  Bundan  F  (x0) = f  (x0)~ f  (x0)=0  va  F ” 
(
xq
) =
Г  
(
xo
) >
0 ekanligi  kelib  chiqadi.  Demak,  (ekstremum mavjudligining yetarli 
shartiga  ko'ra)  xo  nuqta  F(x)  funksiyaning  minimum  nuqtasi  bo'ladi,  ya’ni  xo 
nuqtaning  biror  atrofida  F(x)>F(x0) = 0  bo'ladi.  F(x)=y-Y  bo'lganligidan  y>Y 
tengsizlik  o'rinli  bo'ladi.  Bu  esa xo  nuqtaning  aytilgan  atrofida  funksiya  grafigi 
urinmadan yuqorida joylashishini, ya’ni  funksiya grafigi x0 nuqtada botiq bo'ladi. 
Teoremaning ikkinchi qismi shunga o'xshash isbotlanadi.
Agar biror intervalda  f *  (x)>0 ( f *  (x)<0 ) bo'lsa, u holda y=f(x) egri chiziq 
shu intervalda botiq (qavariq) bo'ladi. ♦
8.32-misol  Ushbu y=x5 funksiya grafigining botiqlik, qavariqlik oraliqlarini 
aniqlang.