|
5-§. Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari
Faraz qilaylik, f(x) funksiya X sohada aniqlangan boMsin. Bu funksiyaning
qiymatlar to'plami E(j) = {f(x): xeX} ni qaraymiz.
203
Agar Е ф to'plam chegaralangan bo1 Isa, u holda uning aniq yuqori chegarasi
mavjud, uni M=sup {f(x)} deb belgilaymiz. Agar M eE(j) bo‘lsa, u holdaA/som f(x)
HEX
funksiyaning eng katta qiymati deb ataladi va M=max \f(x)} kabi belgilanadi. Xuddi
яе
Х
shunga o'xshash E(f) to'plamning aniq quyi chegarasi mavjud, uni m= inf (Дх)} deb
Jtf
X
belgilaymiz. Agar meE(f) bo'lsa, u holda m soni f(x) funksiyaning eng kichik
qiymati deb ataladi va m=min {f(x)} kabi belgilanadi.
i t
X
Endi [ a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lgan f(x) funksiyani qaraymiz.
Bu holda Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko‘ra funksiyaning [a;b] da eng
katta va eng kichik qiymatlari mavjud bo'ladi. Ravshanki, bu holda quyidagi qoida
o'rinli bo'ladi.
8.26-qoida [a,b] da funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish
uchun bu kesmaga tegishli barcha kritik nuqtalari topiladi, funksiyaning shu
nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi. So'ngra bu qiymatlar bilan f(a) va f(b) lar
taqqoslanadi. Bu qiymatlar ichida eng kattasi f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng
katta qiymati, eng kichigi esa f(x) funksiyaning eng kichik qiymati bo'ladi.
8.27-misoI. f ( х) — хл— funksiyaning [ j^;100] kesmada eng katta va eng
kichik qiymatlarini toping.
2 _ |
Yechish. Funksiya hosilasini topamiz: f'(x)= —
Uni nolga tenglab, ya’ni
x2 -1
— — -Otenglamani qarab, x=-l vax=l ekanligini topamiz. Bulardan x=-l nuqta [
— ; 100] kesmaga tegishli emas va bu kesmada hosila mavjud bo'lmagan nuqta
yo'q. Faqat bitta x=l statsionar nuqta [ ^ ;1 0 0 ] kesmaga tegishli. Berilgan
funksiyaning x=——; x=l; x=100 nuqtalaridagi qiymatlarini hisoblaymiz.
204
Tfl/100)=100,01;Д1)=2; Д100)=100,01. Bu qiymatlaming eng kattasi 100, 01; eng
kichigi 2.
Demak, berilgan funksiyaning [
; 100] dagi eng katta qiymati 100,01, eng
kichik qiymati esa 2 ga teng, va’ni max {f(x)\=100,01; min {f(x)}= 2.
/o.ouoo;
/}
/o.uuoo;
Agar Дх) funksiya intervalda, to‘g‘ri chiziqda, [a,b), [a;+oo), (-°o;b], (a;-hx>),
(-oo,b), (a,b] oraliqlarda tekshirilayotgan bo‘lsa, u holda bunday oraliqlarda
funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymatlari mavjud bo'lmasligi ham mumkin.
Masalan, y=x funksiyaning (1;2] oraliqda eng kichik qiymati, [1 ;2) oraliqda
esa eng katta qiymati mavjud emas. Sonlar o‘qida y=x* funksiyaning eng katta
qiymati, y=arctgx funksiyaning eng katta, eng kichik qiymatlari mavjud emas.
Agary(x) funksiya [a,b) ([a;+oo)) oraliqda o'suvchi boMsa, u holda bu oraliqda
funksiyaning eng kichik qiymati mavjud va unga x=a nuqtada erishadi.
Shunga o'xshash tasdiq (a,b] ((-oo;6]) oraliqda uzluksiz funksiya uchun ham
o‘rinlidir.
Agar^x) funksiya (a,b) intervalda uzluksiz, xoe (a,b) kritik nuqtaga ega, (сгм)
intervalda o‘suvchi (kamayuvchi), (x0,b) intervalda kamayuvchi (o‘suvchi) bo'Isa, u
holda qaralayotgan oraliqda Дх) funksiya xo nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga
erishadi.
Agar Дх) funksiya (a\b) intervalda uzluksiz, unda chekli sondagi kritik
nuqtalarga ega va a intervalda o‘suvchi (kamayuvchi), (x„,b)
intervalda kamayuvchi (o'suvchi) boMsa, u holda qaralayotgan (a,b) intervalda Дх)
funksiya eng katta (eng kichik) qiymatga erishadi. Bu qiymatni funksiya kritik
nuqtalardan birida qabul qiladi.
Agar7(x) funksiya (-oo;+oo) ([a;Z>)) da uzluksiz va x-*-oo, x->-hr (x->b-0)) da
chekli yoki cheksiz limitga ega bo'lsa, u holda bu funksiyaning kritik nuqtalardagi
qiymati va cheksizdagi limitlarini solishtirib, uning eng katta, eng kichik
qiymatlarining mavjudligi haqida fikr bildirish mumkin.
205
8.28-misol /x)-lnx-x funksiyaning (0;+oo) oraliqdagi eng katta qiymatini
toping.
Yechish. Funksiyaning hosilasini va kritik nuqtalarini topamiz: f'(x ) = —
x — 1. Agar 00, bundan Дх) o'suvchi. Agar lbo'lsa, u holda j (*)<0, bundan Дх) kamayuvchi. Demak,/x)=lnx-x funk siyani
nuqtada eng katta qiymatiga erishadi:/l)=-l.
8.29-misol Ushbu / ( x) = ^
funksiyaning (0; 1) intervaldagi eng kichik
qiymatini toping.
Yechish. Bu funksiya uchun f'(x ) =
va bundan funksiyaning
(0;1) intervalga tegishli bo'lgan kritik nuqtasi x = ^ ekanligini topamiz. Agar 0 <
x < - bo'lsa, u holda f'(x ) < 0, bundan f(x ) kamayuvchi. Agar ^ < x < 1 bo'lsa,
u holda f\ x) > 0, bundan f(x ) o'suvchi. Demak, (0;1) intervalda berilgan
funksiya x = ^ nuqtada eng kichik qiymatga erishadi: f Q ) = 64.
Mashq va masalalar
Funksiyani ekstremumga tekshiring (23-38):
8-23. A x ) = lf .
8-24• / ( * ) “
.
8-25. f(x ) = x3 - 3x + 1.
8-26. у = e*2_4*+5
8-27. у = x — arctgx.
8-28. r = V5 - 2d + tf
8-29. у = x 3 - 4x2.
8-30. у = x(x - 3)2(x + l ) 2.
8-31. у = 2sinx + cos2x.
8-32. у = (x - 5)6*.
8-33. у = (2x + l ) \ l(x-2)z.
8-34. у = x4 - 8x2 + 12.
8-35. у = x 5 - 5x4 + 5x3 - 1.
8-36. у = —
.
J
1+x2
8-37. у = sin2x — x.
8-38 у = —.
X
Berilgan funksiyaning oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping
(39-42):
206
8-39 f ( x ) = x3 - 6x2 + 9, л: 6 [-1; 2].
8-40 f(x ) = ^x 3 — 9x2 + 48x,x £ [0;9].
8-41 fix ') = ^ +
x 6 (0; 1).
8-42. f ( x ) = x — 2\[x, x 6 [0,5].
8-43 Radiusi R boMgan doiraga ichki chizilgan eng katta yuzli to‘g‘ri
to‘rtburchakningtomonini toping.
8-44 R radiusli sharga ichki chizilgan eng katta hajmli silindming
balandligini toping.
8-45.
R radiusli sharga ichki chizilgan eng katta hajmli konusning
balandligini toping.
8-46. R radiusli sharga ichki chizilgan eng katta yon sirtli silindming
balandligini toping.
8-47. R radiusli sharga tashqi chizilgan eng kichik hajmli konusning
balandligini toping
8-48. Berilgan silindrga, asos markazi silindr asosining markazi bilan bir xil
boMgan konus tashqi chizilgan. Konus asosining radiusi qanday boMganda, uning
hajmi eng kichik boMadi?
8-49 Berilgan konusga ichki chizilgan eng katta hajmli silindming
balandligini toping
8-50 2x2+y2=18 ellipsga tegishli A(\,4) va B(3,0) nuqtalar berilgan. Ellipsga
tegishli shunday С nuqta topingki, ABC uchburchakning yuzi eng katta boMsin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
